Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов




Скачать 120.67 Kb.
НазваниеЧисленное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов
Дата конвертации23.02.2013
Размер120.67 Kb.
ТипДокументы
УДК 519.632.4

численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов

С.П. Копысов, кандидат физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник

Ю.А. Сагдеева, научный сотрудник

Институт прикладной механики УрО РАН

Предложен метод осреднения характеристик композиционных материалов, основанный на многомасштабном анализе с вейвлет-проекцией и аппроксимацией дифференциального оператора. Приводятся численные результаты вейвлет-осреднения коэффициента проницаемости среды. Проводится сравнение полученных эффективных характеристик с асимптотическим методом осреднения периодических сред и аналитическими оценками.


Процессы в композиционных материалах как правило описываются дифференциальными уравнениями с быстро осциллирующими коэффициентами. Непосредственное численное решение уравнений такого вида (например, методом конечных элементов или методом конечных разностей) требует значительных вычислительных затрат, поскольку предполагает использование расчетной сетки малого шага.

Наиболее известным среди методов численного осреднения является асимптотический метод осреднения периодических сред, предложенный Н.С. Бахваловым [1]. В этом методе выводятся соотношения, связывающие два масштаба – микро и макро, для краевой задачи вида в области с соответствующими граничными условиями. Здесь – малый пара­метр, такой что , при , где – осредненное решение. Задача осреднения заключается в том, чтобы найти такие и , чтобы удовлетворяло дифференциальному уравнению

Вейвлет-преобразование позволяет представлять решения дифференциальных уравнений на нескольких масштабах, при этом на коэффициенты уравнения не накладывается условие периодичности.

Многомасштабный анализ для вейвлет-преобразования Хаара

Дадим несколько определений. Вейвлетами и масштабирующими функциями называются функции, образующие базис пространства и получаемые сдвигом и сжатием одной функции , – пространство целых чисел. В качестве вейвлет-базиса в данной работе был выбран базис Хаара:



Иерархические свойства вейвлетов и масштабирующих функций лежат в основе многомасштабного анализа [2]. Такой анализ позволяет представить функцию в виде совокупности грубого приближения и уточняющих деталей. Введем последовательность вложенных пространств и , . Вейвлет-преобразование формируется из двух операторов проекции , .

Вейвлет-осреднение

Вейвлет-преобразование используется в комбинации с одним из сеточных методов численного решения уравнений в частных производных – методом конечных разностей (МКР) или методом конечных элементов (МКЭ). Рассмотрим вейвлет-осреднение на примере одномерного дифференциального уравнения. В МКЭ и в МКР исходное дифференциальное уравнение заменяется аппроксимирующим его дискретным уравнением на некоторой сетке.

МКР. Проведем дискретизацию дифференциального уравнения



методом конечных разностей на равномерной сетке с шагом с помощью трехточечного шаблона. Обозначим через диагональную матрицу, содержащую значения в узлах сетки, а через , – левую и правую разности соответственно. Получаемое дискретное уравнение имеет вид



Применим к  слева ортогональное одномерное вейвлет-преобразование Хаара , матрица которого размера имеет вид



Получим



Индексы и указывают на компоненты, соответствующие пространствам и . Компонента является проекцией решения системы  на пространство . Исключая с помощью дополнения Шура, получим уравнение для



где – дополнение Шура. Разрешив эту систему, получаем искомое осредненное решение . Осредненный оператор имеет структуру, подобную структуре исходного оператора. Для уравнения , осредненный оператор записывается в разностном виде



Матрица описывает осредненные свойства материала, однако уже не является диагональной, что делает затруднительной интерпретацию элементов матрицы как коэффициентов некоторого осредненного материала.

При необходимости дальнейшего осреднения, к системе  можно опять применить вейвлет-преобразование. Таким образом, рекурсивно используя вейвлет-преобразование несколько раз, можно найти грубое представление вектора на нужном масштабе. Причем на самом грубом масштабе получается система из одного уравнения. Система  считается осредненной системой для .

В настоящей работе для проведения осреднения был выбран метод конечных элементов, так как он позволяет решать задачи с сложной геометрией и получать при этом более точное решение.

МКЭ. В случае метода конечных элементов дискретизируем уравнение на равномерной сетке с помощью линейных базисных функции и треугольных элементов. Предполагается, что заданы краевые условия Дирихле или Неймана. В результате применения МКЭ получим систему линейных алгебраических уравнений



где матрица – симметрична и положительно определена. Применим к  вейвлет-преобразование Хаара :







Введем обозначения





и перепишем систему  в виде



Исключая из первого уравнения, получим систему



где – дополнение Шура Разрешив систему  получаем искомое осредненное решение .

Данный подход близок к процедуре исключения неизвестных в блочном методе Гаусса. Отличие состоит в том, что процедура вейвлет-преобразования требует изменение базиса, которое выполняется каждый раз перед шагом редукции. Таким образом, неизвестные в приведенной системе не являются простым подмножеством неизвестных исходной системы.

Элементы матрицы и убывают по мере удаления от главной диагонали, поэтому для работы с этими матрицами можно использовать сжатый формат хранения матриц. Более подробно о вычислительных особенностях вейвлет-преобразования см. [3].

Хотя алгоритм вейвлет-осреднения, описанный для МКЭ, и аналогичен алгоритму для МКР, имеется и ряд отличий. Так, матрица системы в методе конечных элементов не является трехдиагональной и более заполнена. Граничные условия в методе конечных элементов вносятся в систему на этапе ее формирования и включаются в процесс осреднения. В МКР граничные условия не участвуют в процессе осреднения (осредняется только оператор) и лишь после осреднения вносятся в систему.

Двумерное вейвлет-преобразование

Введем расширение вейвлет-представления с одномерного случая на двумерный в пространстве . Базисные функции в этом случае образуются за счет комбинаций тензорных произведений базисных функций для одномерного случая



Аналогично одномерному случаю, введем последовательность вложенных пространств и пространства





Пространство отвечает за осредненные величины, пространство содержит информацию о взаимосвязи двух направлений и уточняющую информацию.

Вектор состоит из трех компонент, а вейвлет-преобразование формируется из четырех операторов проекций





Операторы состоят из двух блоков – один действующий по координате , второй по координате :



Преобразование является ортогональным. Применяя преобразование к системе , получим (индексы и опущены)





или в матрично-блочном виде система приводится к виду



Порядок полученной системы совпадает с порядком исходной системы. Разложение системы на подпространства меньшей размерности может быть продолжено, как и в одномерном случае.

Вычисление эффективных характеристик

Вычисление эффективных коэффициентов опишем на примере определения коэффициента проницаемости материала в двумерном случае. При определении коэффициента используется осредненное вейвлет-решение системы .

Эффективный коэффициент проницаемости в условиях выполнения закона Дарси определялся на основе вейвлет-осреднения и решения методом конечных элементов задачи фильтрации жидкости, описываемой уравнением



в насыщенной пористой неоднородной среде со следующими граничными условиями: на одной границе области задано условие равенства нулю давления , на противоположной границе задана компонента вектора скорости фильтрации , на оставшейся границе задано условие непроницаемости границы (поток через границу равен нулю) .

Обозначим через осредненное с помощью вейвлет-преобразования поле давления в узле сетки . Эффективный коэффициент проницаемости в направлении оси рассчитывается как среднее значение по всем узлам ( – число узлов)



Рассмотрим пример осреднения тензора проницаемости в двумерной задаче фильтрации  для расчетных областей двух типов: области с квадратным включением в центре (доля включения ) и области со случайным начальным распределением проницаемости.

Квадратное включение. Предполагается, что исследуемая среда состоит из двух изотропных сред (назовем их матрицей и включением). Тензоры проницаемости матрицы и включения имеют вид и соответственно. Результаты вейвлет-осреднения тензора проницаемости для разных значений константы сведены в табл. 1

Таблица 1

Сравнение аппроксимаций эффективного коэффициента проницаемости







MG-осреднение

Ренорма­лизация





0.01

0.0168

0.017

0.0180

0.0159

0.013-0.258

0.0164-0.1526

0.1

0.1522

0.152

0.160

0.147

0.129-0.325

0.1514-0.2394

1

1

1

1

1

1-1

1-1

10

6.545

6.55

6.7

6.17

3.08-7.75

4.176-6.604

100

59.22

59.2

61.74

54.25

3.88-75.25

6.55-60.64

1000

585.3

579.32

611.74

534.25

3.99-750.25

6.95-600.64


Анализ результатов проводился для значений проницаемости материала (параметр ) как больших, так и меньших проницаемости включения. Второй столбец таблицы соответствует результатам вейвлет-осреднения. Результаты из столбцов три-пять взяты из работы [4] и соответствуют различным методам осреднения – асимптотическому методу, методу MG-осреднения и ренормализации. Различие в коэффициенте при сравнении с асимптотическим методом не превышает 1%. В столбце шесть приведены нижняя и верхняя аналитические оценки Фойгта-Рейсса (эти оценки являются соответственно арифметическим и гармоническим средними значениями), которые задают широкий диапазон допустимых значений. В последнем столбце приведены нижняя и верхняя аналитические оценки Хашина-Штрикмана для двухфазного материала. Вейвлет-осреднение и асимптотическое осреднение удовлетворяют оценкам Хашина-Штрикмана для всех .

Случайное распределение проницаемости. Пусть тензор проницаемости имеет вид , где , – случайно распределенная величина на интервале , а является кусочно-постоянной на конечном элементе. Пример данного распределения при показан на Рис. 1.



Рис. 1. Случайное поле проницаемости


Таблица 2

Эффективный коэффициент при случайном начальном распределении проницаемости

















2

255.9

1

4.45

2.57

1.6

2

2.07

5

6.1e+6

1

67936.3

992.47

2.59

4.95

5.13

10

2.5e+10

1

2.01e+8

2.21e+6

3.29

9.86

9.5


Для распределения такого вида известно [5], что значение эффективного коэффициента проницаемости определяется как геометрическое среднее значений распределения. Результаты моделирования для значений на сетке узлов приведены в табл. 2. В первом-третьем столбцах даны статистические данные о начальном распределении проницаемости – максимальное значение , минимальное значение , среднеквадратическое отклонение . В четвертом–седьмом столбцах показаны соответственно арифметическое среднее , гармоническое среднее , геометрическое среднее и значение , полученное с помощью вейвлет-осреднения. Очевидно, результаты моделирования близки к геометрическим средним – относительная погрешность равна 3.5%, 3.6%, 3.7% для разных . Арифметическое и гармоническое средние дают настолько широкий интервал оценок, что их использование не имеет смысла. Заметим, что известные аналитические оценки Хашина-Штрикмана [6] для эффективных свойств материала, а также асимптотический метод осреднения [1] не применимы в данном случае. Другие примеры использования вейвлет-преобразования можно найти в [7].

Заключение

Разработан алгоритм осреднения на основе одномерного и двумерного вейвлет-преобразований Хаара и метода конечных элементов. Приведены примеры получения значения осредненного коэффициента проницаемости композита. Результаты моделирования сравнивались с аналитическими оценками и другими методами осреднения. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект №07-01-96069-р_урал_а и гранта молодых ученых Уральского отделения РАН.

Список литературы

[1] Бахвалов, Н. С., Панасенко, Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. – М.:Наука, 1984. – 352 с.

[2] Dorobantu, M., Engquist, B. Wavelet-based numerical homogenization. // SIAM. J. Numer. Anal. – 1998. – Vol. 35 – P.540–559.

[3] Копысов, С. П., Сагдеева Ю. А. Вычислительные особенности двумерного вейвлет-осреднения в задачах многомасштабного анализа. // Вычис. методы и программирование. – 2005. – Т. 6. – С. 1–8.

[4] Knapek, S. Upscaling techniques based on subspace corrections and coarse-grid approximations // Situ. – 1998. –№ 22, p. 35-58.

[5] Козлов, С.М. Осреднение случайных операторов // Математический сборник. – 1979. – Т.109. – С.188-202.

[6] Hashin, Z., Shtrikman, S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials // Journal of the mechanics and physics of solids. – 1963. – Vol. 11. – p.127-140.

[7] Копысов, С. П., Сагдеева Ю. А. Численное осреднение свойств композитов // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. – Казань:Изд-во Казанского математического общества. – 2006. – Т.33. – С.186-197.

Abstract. A method for numerical averaging of characteristics of composites based on multiresolution analysis with the Haar wavelet-transform and approximation of the differential operator is developed. Numerical results for wavelet homogenization of the permability coefficient are given. The obtained homogenized characteristics are compared with those obtained in the asymptotic method of homogenization for periodical media and analytical bounds.

Добавить в свой блог или на сайт

Похожие:

Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов iconАнализ профилей мод интегрального анизотропного оптического волновода методом конечных элементов
Целью настоящей работы является математическое моделирование дисперсионных характеристик и профилей мод интегрального оптического...

Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов iconРазработка метода классификации ээг
В работе представлены различные подходы к классификации электроэнцефалограмм с применением непрерывного вейвлет-преобразования и...

Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов iconРешение эллиптического уравнения методом конечных элементов на радиально базисных нейронных сетях
Целью данной работы является рассмотрение нового подхода к реализации метода конечных элементов на нейронных сетях

Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов icon«Исследование расчетной модели каменной и армокаменной кладок с помощью метода конечных элементов»
«Усиление железобетонных колонн композиционными материалами при сейсмических воздействиях»

Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов iconСравнение метода конечных объёмов и метода галёркина для задачи бюргерса
На примере решения уравнения Бюргерса сравнивается эффективность метода конечных объёмов и метода Галёркина

Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов icon20 Выбор сетки конечных элементов 20 Сходимость мкэ
Для несовместных элементов аналогичные оценки получены в серии работ И. Д. Евзерова и В. С. Карпиловского (см., например, [8], [13])....

Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов iconРазработка моделей метода конечных элементов для расчета напряженно-деформированного состояния железобетонных конструкций мостовых сооружений
Проектирование и строительство дорог, метрополитенов, аэродромов, мостов и транспортных тоннелей

Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов iconВозможности применения вейвлет-преобразования в скважинной сейсморазведке
В отличие от спектральных методов, вейвлет-анализ производится в плоскости частота-время, что позволяет выявить не только глобальные...

Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов iconНовые интегралы в динамике многочастичных систем
Указан ряд новых автономных интегралов в классической задаче о движении тел. Развивается новый метод редукции динамических систем...

Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов iconПрогнозирование трещиностойкости бетона на основе метода конечных элементов
Реальное строение материала и особенности его поведения под нагрузкой отражено в структурных теориях прочности. Однако практическое...


Разместите кнопку на своём сайте:
lib.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©lib.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
lib.convdocs.org
Главная страница