Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша М. П. Галанин, Е. Б. Савенков, Ю. М. Темис, И. А. Щеглов, Д. А. Яковлев




Скачать 345.49 Kb.
НазваниеОрдена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша М. П. Галанин, Е. Б. Савенков, Ю. М. Темис, И. А. Щеглов, Д. А. Яковлев
страница1/4
Дата конвертации23.02.2013
Размер345.49 Kb.
ТипРеферат
  1   2   3   4


РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК


Ордена Ленина Институт прикладной математики

им. М.В. Келдыша


М.П. Галанин, Е.Б. Савенков, Ю.М. Темис,
И.А. Щеглов, Д.А. Яковлев


Применение метода конечных суперэлементов для
расчета напряженно-деформированного состояния
композиционных материалов


Москва – 2006

Аннотация

Представлен программный комплекс, предназначенный для решения задачи теории упругости композиционных материалов в пространственно трехмерном случае. В качестве расчетного метода использован метод конечных суперэлементов Р.П. Федоренко. Приведены результаты численного решения для различных упругих и геометрических параметров материалов, составляющих композиционный материал.


The Application of Finite Superelements Method for the Composite Material Strain - Stress State Simulation

M.P. Galanin, E.B. Savenkov, Ju.M. Temis, I.A. Sheglov, D.A. Jakovlev

Abstract


The program complex intended for solving linear 3D elasticity problems in case of composite materials is presented. As a main computational method the Fedorenko Finite Superelements Method (FSEM) is used. Numerical results for composite materials with various elastic and geometrical parameters are presented.


Содержание

1.1Тестовые расчеты 20

1.2Варианты расчетов 20

1.3Анализ результатов расчетов 21




  1. Введение

Метод конечных суперэлементов (МКСЭ) предложен в работах [1 - 3] для задач, решения которых имеют локальные особенности геометрического или физического типа. При этом особенности геометрического типа порождаются резкими изменениями границы области и наличием в ней пустот, а физического типа – присутствием подобластей с резко отличными параметрами материала. Размер особенностей предполагается существенно меньшим как размера исходной расчетной области, так и приемлемого шага расчетной сетки. Метод применялся для решения ряда сложных задач диффузии, теории упругости, кинетики ядерных реакторов и ряда других.

В работах [4 - 9] предложен вариант теоретического исследования МКСЭ, который позволил, в частности, формально строить аппроксимации метода для достаточно широкого класса эллиптических задач, в частности, для линейных задач теории упругости.

Одной из таких задач, для которых возможно ожидать эффективного использования МКСЭ, является задача расчета напряженно - деформированного состояния композиционных материалов. Отметим, что использование МКСЭ для подобных задач проводилось и раньше, в оригинальных работах [1 - 3]. Схема МКСЭ для решения указанной задачи приведена в [10]. Там же представлены результаты первых расчетов, указывающих на эффективность метода, проведено сравнение численных результатов с экспериментальными и известными теоретическими оценками. Получено хорошее совпадение расчетных значений как с данными эксперимента, так и с теоретическими оценками.

Рассматриваемая работа продолжает работу [10] и посвящена описанию программного комплекса, предназначенного для проведения массовых практических расчетов на основе МКСЭ и анализа их результатов.

В качестве объекта исследования выбраны композиционные материалы с включениями в виде коротких волокон, для которых рассмотрена задача расчета напряженно - деформированного состояния композитного тела с помощью МКСЭ. Для решения указанной задачи разработан программно-вычислительный комплекс (ПК), построенный на модульном принципе, позволяющий в автоматизированном режиме подготавливать и запускать расчет, а также анализировать его результаты. В работе описаны архитектура и принципы работы указанного комплекса, использованные при его реализации вычислительные и прикладные алгоритмы, а также приведены результаты его применения для решения некоторых задач.

Остановимся подробнее на рассматриваемой задаче. В дальнейшем будем считать, что некоторый материал – матрица – армирован включениями в виде коротких волокон, форма которых близка к сферической. Поведение материала считаем упругим.

В общем случае представляет интерес информация о детальном напряженно-деформированном состоянии композита и его приведенных (усредненных) свойствах в зависимости от упругих и геометрических параметров матрицы и включения таких, как, например, объемная доля включений в материале, их геометрия и ориентация и так далее.

Отметим, что в настоящее время существует несколько различных способов описания и анализа свойств композитов. Такими подходами являются, например, метод асимптотического осреднения [11], различные микромеханические [12 - 16] и смесевые модели [17 - 20], широко применяемые в инженерной практике. Эти модели позволяют определять приведенные упругие свойства композита в зависимости от свойств его структурных элементов. Краткий обзор этих моделей приведен в [10]. Там же подробно описаны метод и некоторые результаты применения МКСЭ для определения приведенных упругих свойств композитов.

Актуальность МКСЭ для решения описанной задачи связана с тем, что он позволяет проводить прямое численное моделирование напряженно - деформированного состояния композиционного материала с непосредственным учетом большого числа включений. Решение такой задачи обычными конечно - разностными или конечно - элементными методами представляет большую трудность, связанную с большой размерностью конечномерной задачи. Так, даже в области с одним включением необходимо использовать очень подробные сетки, позволяющие хорошо разрешить решение в окрестности контакта матрицы и включения. Число узлов в такой сетке может доходить до и более. Понятно, что решить задачу в области с несколькими включениями на сетке с таким шагом очень сложно.

Помимо этого, в работе [10] приведен алгоритм оценки приведенных характеристик изучаемого композиционного материала. Он основан на сравнении численного решения задачи в области с неоднородными упругими свойствами, полученного с помощью МКСЭ, с аналитическим решением задачи в однородной изотропной области с неизвестными приведенными упругими свойствами, подлежащими определению. Этот алгоритм использовался и в данной работе.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ № 06-01-00421).

  1. Метод конечных суперэлементов

Не останавливаясь детально на теоретических особенностях исследования МКСЭ, укажем коротко некоторые его отличительные свойства. Подробное теоретическое описание метода для ряда задач приведено в работах [4 - 9].

В соответствии с МКСЭ расчетная область разбивается на некоторое количество подобластей – суперэлементов (СЭ). Далее каждый СЭ оснащается системой базисных функций, которые являются точными решениями рассматриваемого уравнения с некоторыми граничными условиями, заданными на границе СЭ. Приближенное решение исходной задачи ищется в виде линейной комбинации таких базисных функций из условий, формально совпадающих с уравнениями метода Галеркина - Бубнова или Галеркина - Петрова.

Использование базисных функций, полученных точным решением рассматриваемой системы уравнений, является главным отличием МКСЭ от обычного метода конечных элементов с точки зрения его программной реализации и применения. С алгоритмической точки зрения в остальном МКСЭ сходен с обычным методом конечных элементов (МКЭ). А именно, приближенное решение в обоих случаях ищется как линейная оболочка некоторой системы базисных функций. Конечномерная задача (система линейных алгебраических уравнений для узловых значений конечных элементов (КЭ)/СЭ) во всех случаях формально получается из условия ортогональности невязки приближенного решения некоторому конечномерному подпространству.

Несмотря на сходства, методы существенно отличаются с точки зрения теоретического описания. Это связано с тем, что в общем случае используемые в МКСЭ базисные функции не обладают аппроксимирующими свойствами в том пространстве, в котором ищется решение исходной задачи. В МКСЭ базисные функции рассчитываются как решения вспомогательных задач для рассматриваемого уравнения в каждом СЭ по отдельности, а не задаются непосредственно, как в случае МКЭ. Однако указанная особенность МКСЭ не представляет проблемы с точки зрения теории, так как оказывается, что аппроксимирующими свойствами должны обладать граничные функции, которые определены на границах СЭ и задают граничные условия при расчете базисных функций. При этом для построения граничных функций могут использоваться известные и хорошо разработанные методы интерполяции (см. в качестве примера [31]) одномерных или двумерных функций (если исходная задача рассматривается в двумерной или трехмерной постановке соответственно).

Если записать задачу относительно граничных функций, исключив из рассмотрения «внутренности» СЭ, то к ней можно применить теоретический аппарат, необходимый для обоснования метода. При этом ошибка приближенного решения будет определяться ошибкой интерполяции функции, заданной на границах СЭ, элементами соответствующего конечномерного пространства функций, также заданных на границе.

Таким образом, исходная краевая задача может быть заменена эквивалентной ей задачей для определения следов неизвестного решения на границах СЭ. Такой переход может быть осуществлен с помощью граничных операторов Пуанкаре – Стеклова, предложенных в работах В.И. Лебедева и В.И. Агошкова [21 - 24] как средство теоретического исследования методов декомпозиции области. При этом указанные методы рассматриваются как итерационные методы решения соответствующих уравнений для следов. Это позволяет использовать при их исследовании теорию итерационных методов решения абстрактных операторных уравнений. В соответствии с описанным подходом МКСЭ может рассматриваться как проекционный метод решения этих же уравнений, что позволяет использовать при их исследовании известную теорию проекционных методов.

В результате с точки зрения теории схема построения аппроксимаций МКСЭ имеет следующий вид. Сначала расчетная область разбивается на некоторое количество плотно покрывающих ее непересекающихся подобластей - СЭ. Обобщенная постановка для определения следов решения исходной задачи на границах СЭ строится на основе операторов Пуанкаре-Стеклова и формулы Грина, соответствующих оператору задачи. Для построения аппроксимаций вариационного уравнения для следов могут применяться стандартные методы теории абстрактных вариационных уравнений и проекционных методов [25 - 28]. Это позволяет формально и единообразно рассматривать различные варианты МКСЭ, соответствующие тем или иным проекционно-сеточным методам, получать оценки ошибок и так далее. Таким образом МКСЭ вписывается в известную и хорошо разработанную теорию.

Отметим также, что возможен комбинированный подход, в котором для аппроксимации задачи используется как МКСЭ, так и МКЭ. Более подробно комбинированные аппроксимации МКЭ/МКСЭ рассмотрены в [4 - 9].

Сведение задачи к задаче для следов в МКСЭ или комбинированном подходе необходимо лишь для построения расчетной схемы и теоретического исследования метода, что позволяет использовать при обосновании готовую теорию. С точки зрения алгоритма построения конечномерной задачи эти методы сходны с обычным МКЭ.

Отметим еще одну особенность. При построении аппроксимаций МКСЭ задача записывается относительно следов решения на границах СЭ. При этом СЭ сетка не является разностной в привычном смысле этого слова. Это разбиение области на меньшие подобласти происходит на этапе построения уравнения для следов до построения конечномерных аппроксимаций. На границах СЭ задаются некоторая разностная сетка и уже на ней те или иные граничные функции. Эти функции должны обладать аппроксимирующими свойствами в подходящем пространстве следов. Шаг граничной сетки h является параметром дискретизации, то есть приближенное решение задачи сходится к точному, когда h стремится к нулю. Диаметр СЭ при этом не зависит от h и не меняется при его стремлении к нулю.

Не рассматривая более общей теории, перейдем к описанию математической постановки задачи и аппроксимаций МКСЭ.

  1. Постановка задачи и аппроксимации МКСЭ

Применим МКСЭ к решению линейной задачи теории упругости в трехмерной постановке. В качестве основного приложения взята задача расчета напряженно-деформированного состояния композиционных материалов для случая композитов с короткими волокнами. Для каждого полученного решения вычислены усредненные по расчетной области упругие параметры композиционного материала.

Рассмотрим постановку задачи. Требуется определить поле перемещений , сплошной среды в ограниченной трехмерной области , на границе которой заданы кинематические и динамические граничные условия. Будем считать, что в области задана ортогональная декартова система координат . В дальнейшем будем использовать правило суммирования по повторяющимся индексам. Производную некоторой величины по переменной будем обозначать через ,



Система соотношений, описывающих напряженно-деформированное состояние упругого тела, состоит из уравнения равновесия



материальных соотношений, выражающих обобщенный закон Гука



и кинематических соотношений



Будет использоваться также операторная форма уравнения равновесия



Здесь – тензор упругих напряжений, – тензор деформаций, , – их компоненты в выбранной системе координат, – объемная плотность внешних сил, , – коэффициенты Ламе, являющиеся заданными функциями точки пространства, – компоненты единичного тензора.

Будем считать, что граница области состоит из двух частей, . На части заданы кинематические граничные условия



а на части границы заданы естественные граничные условия



где



– внешняя нормаль к границе области.

Рассмотрим также слабую постановку задачи. Она имеет следующий вид: необходимо определить вектор - функцию , удовлетворяющую кинематическим граничным условиям на и уравнению



для всех достаточно гладких функций , обращающихся в ноль на той части границы, где заданы граничные условия первого рода, то есть на .

Для ее построения использована следующая формула Грина:



где для рассматриваемой задачи



Здесь – скалярное произведение в пространстве , – скалярное произведение в пространстве , – оператор вычисления следа функции на границе, – оператор «нормальной производной», – билинейная форма, порожденная оператором . Отметим, что вид операторов и билинейной формы определяется оператором .

Приведенная формула Грина верна для достаточно гладких векторных полей , линейной зависимости от и произвольной зависимости от .

Как указано выше, МКСЭ может рассматриваться как обычный метод Галеркина - Бубнова с использованием специальных базисных функций. Поэтому конечномерная задача может быть получена следующим образом. Необходимо: 1. задать разбиение расчетной области на СЭ; 2. задать на границах СЭ граничные функции, аппроксимирующие следы решения на границах СЭ; 3. для каждой такой граничной функции продолжить ее во внутренность СЭ решением исходного уравнения с указанной функцией как граничным условием первого рода, для чего внутри каждого СЭ независимо ввести расчетную сетку и использовать обычный МКЭ; 4. систему линейных алгебраических уравнений для определения узловых значений СЭ получить из условий, формально совпадающих с условиями метода Галеркина - Бубнова с рассчитанными функциями в качестве базисных.

Отметим, что, так как СЭ базисные функции рассчитываются численно, то, вообще говоря, суперэлементы могут иметь произвольную форму. Тем не менее, в дальнейшем будем рассматривать СЭ в виде параллелепипедов, а узловые значения СЭ решения отнесем к их вершинам.

При этом естественным требованием при разбиении области на СЭ в случае конкретной рассматриваемой задачи является расположение каждого включения композита целиком внутри одного СЭ. Это означает, что на границах СЭ упругие свойства среды не меняются, и, значит, на границе СЭ решение является относительно гладким. Это позволяет использовать для аппроксимации перемещений на границах СЭ простейшие билинейные базисные граничные функции. Для расчета решения внутри СЭ далее используется достаточно мелкая сетка для того, чтобы описать особенности решения, в частности, на контактной границе между матрицей и включением.

В общем случае все СЭ могут быть разными, каждый СЭ и соответствующее ему включение могут иметь разную форму и значения упругих параметров. В представленных далее расчетах все СЭ имеют форму кубов, включения могут иметь разную форму, значения упругих коэффициентов матрицы и включения не меняются от СЭ к СЭ.

  1   2   3   4

Добавить в свой блог или на сайт

Похожие:

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша М. П. Галанин, Е. Б. Савенков, Ю. М. Темис, И. А. Щеглов, Д. А. Яковлев iconОрдена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша удк 517. 958 М. П. Галанин, А. П. Лотоцкий, В. Ф. Левашов
Расчет электродинамического ускорения плоских пластин в лабораторном магнитокумулятивном генераторе

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша М. П. Галанин, Е. Б. Савенков, Ю. М. Темис, И. А. Щеглов, Д. А. Яковлев iconРоссийская Академия Наук ордена ленина институт прикладной математики им. М. В. Келдыша А. В. Ахтёров, А. А. Кирильченко
Задача обнаружения подвижных объектов при информационном мониторинге динамической среды распределённой мобильной системой

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша М. П. Галанин, Е. Б. Савенков, Ю. М. Темис, И. А. Щеглов, Д. А. Яковлев iconОрдена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук Ю. Н. Брылев, Н. В. Поддерюгина, И. Ф. Подливаев
Расчет отражения электромагнитного излучения молнии от ионосферы в плоском приближении с учетом нелинейного разогрева

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша М. П. Галанин, Е. Б. Савенков, Ю. М. Темис, И. А. Щеглов, Д. А. Яковлев iconРоссийская Академия Наук Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Э. Л. Аким, Д. А. Тучин
Апостериорная оценка точности определения вектора состояния земного наблюдателя по измерениям дальности и скорости системы космической...

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша М. П. Галанин, Е. Б. Савенков, Ю. М. Темис, И. А. Щеглов, Д. А. Яковлев iconОрдена Ленина Институт прикладной математики имени М. В. Келдыша Российской академии наук
Летунов А. А., Галактионов В. А., Барладян Б. Х., Зуева Е. Ю, Вежневец В. П., Солдатов C. А измерительный комплекс на основе видеокамеры...

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша М. П. Галанин, Е. Б. Савенков, Ю. М. Темис, И. А. Щеглов, Д. А. Яковлев iconГ. Г. Малинецкий Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша ран наш институт ныне Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша ран (ипм) был создан в 1953 году для решения стратегических проблем, требовавш
М. В. Келдыша ран (ипм) – был создан в 1953 году для решения стратегических проблем, требовавших применения прикладной математики...

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша М. П. Галанин, Е. Б. Савенков, Ю. М. Темис, И. А. Щеглов, Д. А. Яковлев iconИ. Б. Щенков из истории развития и применения компьютерной алгебры в институте прикладной математики имени М. В. Келдыша
Г. Б. Ефимов, Е. Ю. Зуева, И. Б. Щенков. Из истории развития и применения компьютерной алгебры в Институте прикладной математики...

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша М. П. Галанин, Е. Б. Савенков, Ю. М. Темис, И. А. Щеглов, Д. А. Яковлев iconГ. И. Змиевская, А. Л. Бондарева Институт Прикладной Математики им. М. В. Келдыша, Москва, Россия
Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и утс, 14 – 18 февраля 2011 г

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша М. П. Галанин, Е. Б. Савенков, Ю. М. Темис, И. А. Щеглов, Д. А. Яковлев iconО работах в ипм им. М. В. Келдыша ран по анализу динамики, разработке и реализации систем ориентации малогабаритных спутников
Труды Совещания “Управление движением малогабаритных спутников”. Под редакцией М. Ю. Овчинникова. Препринт Института прикладной математики...

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша М. П. Галанин, Е. Б. Савенков, Ю. М. Темис, И. А. Щеглов, Д. А. Яковлев iconУправление дпла через ретранслятор
Московский ордена ленина и ордена октябрьской революции авиационный Институт имени серго орджоникидзе


Разместите кнопку на своём сайте:
lib.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©lib.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
lib.convdocs.org
Главная страница