ANÁlisis de la topografía del molde para la fabricación del espejo secundario del gran telescopio milimétrico (gtm) por la técnica de proyección de franjas




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ANÁLISIS DE LA TOPOGRAFÍA DEL MOLDE PARA LA FABRICACIÓN DEL ESPEJO SECUNDARIO DEL GRAN TELESCOPIO MILIMÉTRICO (GTM) POR LA TÉCNICA DE PROYECCIÓN DE FRANJAS


Amalia Martíneza, J. A. Rayasa, Sergio Vázquezb, Alberto Jaramillob, R. Rodríguez Veraa


a Departamento de Metrología Óptica, Centro de Investigaciones en Óptica, Loma del Bosque 115, Col. Lomas del Campestre, C. P. 37150, León Gto. amalia@cio.mx

b Coordinación de Óptica, Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica, Luis Enrique Erro No. 1, Tonantzintla, Pue. svazquez@inaoep.mx


ResumEn

El espejo secundario del GTM tendrá un diámetro aproximado de 2.6 m y con una razón focal de 0.35. Utilizando la técnica de proyección de franjas incoherente, se toma una imagen del molde del espejo secundario con las franjas ya proyectadas las cuales se deforman de acuerdo al perfil del molde. Se aplica a esta imagen la técnica de detección sincrónica espacial para obtener la fase a partir de la cual se calcula el perfil del objeto bajo estudio. La topografía obtenida es comparada con una simulada en computadora dado que el molde deberá de ser un hiperboloide con radio de curvatura paraxial de 1764.9 mm y una constante de conicidad de -1.1474. Se discutirán los resultados preeliminares donde se obtuvo un RMS de 0.624 cm.


1. Introducción

Los sistemas ópticos para la digitalización de formas, se han convertido en una importante herramienta en la industria e investigación durante los últimos años. Las razones son: su sensibilidad, precisión y de no contacto. Entre las técnicas están: interferometría de moteado, moiré, luz estructurada y holografía. La medición de los parámetros de una superficie tales como distancias, alturas o coordenada 3D toman un papel importante en el diseño industrial, inspección y control de calidad. En algunas etapas del proceso de desarrollo de un nuevo producto, la forma del objeto tiene que ser controlada antes y después cuando es probada en su funcionamiento. Existen diferentes técnicas para la medición de la topografía dependiendo de la escala desde la micro-estructura de la superficie (rugosidad) hasta formas macroscópicas. Los métodos ópticos tales como proyección de franjas y de moiré, tienen en particular la ventaja de no tener casi limitación en el análisis de áreas grandes a medir. Es de interés conocer en una primera aproximación, la forma del molde del espejo secundario del gran telescopio milimétrico1 (Fig. 1) el cual tendrá un diámetro de 2.6m. Para ello se utilizará la técnica de proyección de franjas incoherente2 y la técnica de detección sincrónica espacial3 que serán explicadas brevemente en las secciones 2 y 3. Los resultados obtenidos muestran un RMS de 0.624 cm de la topografía obtenida con esta técnica al ser comparada con una simulada en la computadora lo cual se mostrará en la sección 4.


2. Detección sincrónica espacial (DSE)

La DSE es conocida como modulación en cuadratura3, debido a que la fase es obtenida mediante dos señales que presentan un desfase de /2 rad. (también conocida como detección directa de la fase). La señal de entrada s(x) es multiplicada por dos señales en cuadratura de fase (seno y coseno), en cuyo argumento se tiene la información de la frecuencia portadora. Luego se aplica un filtro pasa bajo para eliminar las componentes de primero y segundo armónico de la frecuencia portadora. En este estado se tienen dos señales en cuadratura de fase con solamente la información de la fase a medir. Finalmente, la fase se obtiene calculando la tangente inversa del cociente de ambas señales.





Fig. 1 Esquema del gran telescopio milimétrico

El tratamiento matemático a considerar es el siguiente:


Sea una señal senoidal s(x):


(1)


donde f es la señal de la frecuencia. Al multiplicar la señal por funciones seno y coseno con frecuencia se obtiene:






y




(3)


donde y . Estas dos funciones y son periódicas, pero contienen tres armónicos: (1) el primer término con una frecuencia muy baja, igual a la diferencia entre la señal y la frecuencia de referencia; (2) el segundo término con la frecuencia de referencia; y (3) el último término con la frecuencia igual a la suma de de las frecuencias de la señal y de referencia.

Si los términos con frecuencias r y r son eliminados de manera apropiada por un filtro pasa baja, obtenemos las versiones filtradas como:


(4)

y


. (5)

Entonces podemos obtener


, (6)

donde es posible obtener la fase


3. proyección de franjas

La Fig. 2 muestra el sistema óptico de proyección de franjas. Se proyecta una rejilla sintética (RP) donde las líneas son paralelas al eje y, el eje z coincide con la dirección de observación y el plano xy (z=0) es un plano de referencia que pasa por el vértice del objeto, es decir la altura es igual a 0 en este plano. La normal de la rejilla proyectada hace un ángulo con respecto al eje z. Tanto la CCD como el proyector multimedia están a una distancia de 5409.56 mm con respecto al plano xy. La separación de la CCD y el proyector multimedia es de 1130 mm. La longitud del diámetro observado es de 2320 mm. Se obtiene la fase envuelta del objeto la cual es mostrada en la Fig. 3, al aplicar la técnica conocida como detección sincrónica espacial.






Fig. 2 Sistema óptico utilizado

Fig. 3 Fase envuelta



Para la obtención de la expresión matemática que representa la topografía del objeto consideremos lo siguiente: la superficie es iluminada incoherentemente con una rejilla cosenoidal y observada por una cámara CCD en la normal del plano xy. La distribución de intensidad observada en la normal del plano xy es2,4:


(7)


donde , K= una constante, y periodo de la rejilla proyectada.

Si se tiene ahora una segunda superficie , la cual puede representar una desviación con respecto a una superficie de referencia z1 la cual es plana. Su intensidad para esta segunda superficie es representada por:


. (8)


Estas distribuciones de intensidad son representadas por señales de voltaje V1 y V2 en la PC, y son proporcionales a las funciones de intensidades I1 e I2 respectivamente. Haciendo contorneo electrónico de moiré, la imagen de video resultante es proporcional a:


, (9)


sutituyendo p en función de po, la ecuación anterior llega a ser:


, (10)


De la identidad trigonométrica , la ecuación anterior se puede escribir como:


. (11)


La ecuación anterior representa el patrón de franjas proyectado originalmente (desplazado en fase) modulado en amplitud por el factor . Esta función de modulación corresponde a las franjas de moiré, teniendo un mínimo cuando:


(12)


donde n es un entero. El intervalo de contorno estará dado entonces por:


. (13)


El contorno estaría dado en función de la fase por la expresión:

. (14)


Al utilizar iluminación esférica (apropiado en el caso de objetos grandes) es necesario hacer correcciones a la ecuación anterior5,


, (15)


donde es el valor de en el origen del sistema de referencia, es el ángulo de incidencia de proyección de la rejilla y es la distancia entre la cámara CCD y el centro del objeto. Para los casos de y mucho mayor que , la ecuación (15) se reduce a la ecuación (13).


4. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DEL MOLDE

Una de las descripciones de una superficie cónica está dada a través de la relación6,7:


, (16)


donde c es el inverso del radio de curvatura, k es la constante de conicidad (, donde e es la excentricidad de la superficie), y . Considerando la forma hiperbólica del molde, los parámetros asociados son: , radio de curvatura paraxial igual a 1764.94 mm y diámetro igual a 2635 mm. (el diámetro observado corresponde a 2320 mm). En la Fig. 4 se muestra la superficie generada por la ec. 16 que al ser comparada con la superficie obtenida de manera experimental se obtiene un RMS de 0.624 cm.




Fig. 4 Recuperación experimental de la topografía (superficie roja) comparada con la superficie generada matemáticamente (superficie azul).

5. CONCLUSIONES

Se obtuvieron resultados pre-eliminares para el análisis de la topografía del molde de lo que será el espejo secundario del GTM utilizando la técnica de proyección de franjas. Para el desenvolvimiento de la fase se utilizo la técnica conocida como detección sincrónica espacial. Se obtuvo una representación matemática del molde con la cual se hizo una comparación entre la topografía teórica ideal y la topografía real del molde obteniendo un RMS de 0.624 cm.


AGRADECIMIENTOS

Se reconoce el apoyo parcial obtenido a través del proyecto del Consejo de Ciencia y Tecnología del Estado de Guanajuato (CONCYTEG).


BIBLIOGRAFÍA

  1. http://www.lmtgtm.org/

  2. K. J. Gåsvik, “Moiré Technique,” in Optical Metrology (John Wiley&Sons Ltd, Great Britain, 1987), Chapter 5, pp. 128-136.

  3. D. Malacara, M. Servín, Z. Malacara, “Signal Phase Detection,” in Interferogram Analysis for Optical Testing , (Marcel Dekker, Inc., New York, 1998), Chapter 5 , pp. 119-121.

  4. R. Rodríguez Vera, “Three-dimensional gauging by electronic moiré contouring”, Revista Mexicana de Física, Vol. 40, No. 3, 1994, pp. 447-458.

  5. K. J. Gasvik , M. E. Fourney, J. Applied Mechanics, 53, 1986, pp. 652.

  6. O. Cardona-Nuñez, A. Cornejo Rodríguez, R. Díaz Uribe, A. Cordero Dávila, J. Pedraza Contreras, “Conic that best fits an off-axis conic section”, Applied Optics, Vol. 25, 1986, pp. 3585-3588.

  7. D. Malacara, Z. Malacara, “Mathematical Representation of Optical Surfaces,” in Handbook of Optical Design, (Marcel Dekker Inc., New York, 2004, Second edition), Appendix 2, pp. 485-495.







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