План работы Вопросы к экзамену 1 Вопросы к экзамену
Скачать 0.52 Mb.
|
Совместные и несовместные случайные события. Вероятность суммы несовместных событий. 081128-matmetody.txt Отношения между событиями. Сопоставим события: событие А - появление герба при подбрасывании монеты. Событие бэ - непоявление цифры при подбрасывании монеты. Следовательно а и бэ - равносильные события (а включает бэ, а бэ включает а). Два события а и бэ, произведение которых является невозможным событием, являются несовместимыми. Суммой двух несовместимых событий а и бэ называется событие цэ, осуществляющееся в появлении либо события а, либо события бэ. Если сумма событий а и бэ - событие достоверное, а произведение событий - невозможное, то такие события называются противоположными. Если ни одно из элементарных событий данного множества не является объективно более возможным, чем другое, то такие события называются равновозможными. Вероятность суммы несовместимых событий. Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий (формулы в тетради). Вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятностей их совместного осуществления (формулы в тетради). То есть, если события А и Бэ совместимы, то... формула в тетради. komb-teorver-stat.htm События А и В называются несовместными, если в результате испытания они никогда не могут наступить вместе (например, выпадение 3 и 6 при подбрасывании кубика). Несовместные события не содержат в себе общих элементарных исходов. События А и В называются совместными, если в результате испытания они могут наступитьвместе(например,выпадениечетногочисла очковичисла очков, кратного трем, при подбрасывании кубика). Совместные события содержат в себе общие элементарные исходы. Суммой событий А и В называется событие С, которое состоит либо в наступлении события А, либо в наступлении события В, либов их одновременном наступлении. Обозначается С=А+В
komb-teorver-stat.htm В  ероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: О  пределение: Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло называется условной вероятностью событияА относительно события В и обозначается  Определение. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того произошло событие В или нет, то есть  Теорема 3. Вероятность произведения (совместного появления) двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную п  ри условии, что первое событие уже наступило:Следствие. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:  Т  еорема 4. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Следствие. Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:  081128-matmetody.txt Вероятность произведения событий А и Бэ равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло. Вероятность произведения события А и Бэ, если события А и Бэ независимы, равна произведению вероятностей этих событий.
090309-matmetody.txt Случайной величиной называется такая переменная величина, которая принимает значение из некоторого множества. Принято выделять дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина принимает свои значения из множества целых чисел. Например, количество студентов данной группы. Непрерывная случайная величина принимает свои значения из множества действительных чисел. Операции. Разбиение числовой оси на равные интервалы называется квантованием, а полученные интервалы - интервалами квантования. Например, возраст - мы измеряем интервалом, равным одному году. Ряд различных психологических явлений мы измеряем квантованием. Основной способ описания случайной величины - это построение её распределения. Для дискретной величины подсчитывают количество случаев, приходящихся на каждое значение, то есть абсолютную частоту, затем строят гистограмму или столбчатую диаграмму, которая наглядно представляет особенности распределения. Есть ещё некоторые показатели, которые так или иначе делят выборку. Квантили - такие значения случайной величины, которые делят распределения на равные части. Их существует несколько видов. 1. Квартили - делят выборку на четыре равные части - по 25% на каждую часть. 2. Квинтили - делять выборку на 5 равных частей - по 20% на каждую часть. 3. Децили - делят выборку на 9 частей, то есть, девять децилей делят выборку на десять равных частей по 10% на каждую часть. 4. Процентили - 99 процентилей делят выборку на 100 равных частей по 1%. Процентили нельзя путать с процентами. Процентные показатели - это первичные показатели, которые определяют, например, количество правильно выполненных заданий. А процентиль - показатель производный, указывающий да долю от общего числа членов группы. komb-teorver-stat.htm Наряду со случайными событиями одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется величина, принимающая в результате испытания некоторое, наперед неизвестное значение, которое может изменяться от испытания к испытанию. Случайные величины принято обозначать  их возможныезначения -  Случайные величины могут классифицироваться следующим образом: • Величины количественные и качественные. Количественные величины называются также числовыми. • Величины одномерные и многомерные. • Величины дискретные и непрерывные (для числовых величин). §1. Дискретная случайная величина. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая отдельные, изолированные друг от друга значения. Возможные значения дискретной случайной величины образуют или конечное множество (например, X - случайная величина, равная числу очков, выпавшему на верхней грани кубика, возможны 6 различных значений) или счетное множество (бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать; например, X - случайная величина, равная количеству подбрасываний монеты до первого выпадения герба). Для задания случайной величины недостаточно знать только ее возможные значения. Две случайные величины могут иметь одинаковые значения, но принимать их с различными вероятностями (например, оценки на экзамене у сильных и слабых студентов). Поэтому необходимо указать и возможные значения, и их вероятности. Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями это величины и их вероятностями. Закон распределения может быть задан тремя способами: 1) Табличный способ - в первой строке таблице в порядке возрастания перечисляются возможные значения случайной величины, во второй - их в  ероятности.В данной таблице /?, - вероятность того, что случайная величина X приняла значение  причем сумма вероятностей в нижней строке должна бытьравна единице:  Такую таблицу называют рядом распределения вероятностейдискретной случайной величины. 2) Графический способ - по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, по оси ординат - их вероятности. Полученные точки соединяются отрезками. Такой график называют полигоном распределения. 3) Аналитический способ - соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями задается с помощью формулы:  §2. Непрерывная случайная величина, способы ее задания Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, принимающая любое значение из некоторого конечного или бесконечного промежутка (например, время работы прибора до его поломки, размер детали и т.п.). Количество значений непрерывной случайной величины бесконечно, невозможно перечислить все ее возможные значения, поэтому необходимы другие способы ее задания. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины может быть задано двумя способами: с помощью функции распределения вероятностей и с помощью плотности распределения вероятностей. Функцией распределения вероятностей случайной величины называется функция, равна в каждой точке х вероятности того, что случайная величина примет значение меньшее, чем  Плотностью распределения вероятностей случайной величины называется производная от функции распределения вероятностей:  Функция распределения вероятностей может быть задана как для дискретной случайной величины, так и для непрерывной, а плотность распределения вероятностей задается только для непрерывной случайной величины. Одним из важных свойств плотности распределения вероятностей является условие нормировки:  Плотность распределения вероятностей называют также законом распределения непрерывной случайной величины.
090309-matmetody.txt Гистограмма - это столбиковоя диаграмма, каждый столбец которой опирается на конкретное значение признака или разрядный интервал. Построение полигона распределения частот напоминает построение гистограммы - когда верхние точки столбцов гистограммы соединяются отрезками (получается ломаная линия). Вместо гистограммы и полигона часто изображают сглаженную кривую распределения частот. с. 27 (34) Гистограмма распределения частот — это столбиковая диаграмма, каждый столбец которой опирается на конкретное значение признака или разрядный интервал (для сгруппированных частот). Высота столбика пропорциональна частоте встречаемости соответствующего значения. На рис. 3.1 изображена гистограмма распределения частот для примера из табл. 3.2. Гистограмма накопленных частот отличается от гистограммы распределения тем, что высота каждого столбика пропорциональна частоте, накопленной к данному значению (интервалу). Построение полигона распределения частот напоминает построение гистограммы. В гистограмме вершина каждого столбца, соответствующая частоте встречаемости данного значения (интервала) признака, — отрезок прямой. А для полигона отмечается точка, соответствующая середине этого отрезка. Далее все точки соединяются ломаной линией (рис. 3.3). Вместо гистограммы или полигона часто изображают сглаженную кривую распределения частот. На рис. 3.4 изображена гистограмма распределения для примера из табл. 3.3 (столбики) и сглаженная кривая того же распределения частот.
090309-matmetody.txt Параметры распределения. Распределение случайной величины характеризуется парамерами распределения, которые объединены в группы характеристик: 1. характеристики положения; 2. характеристики рассеивания; 3. характеристики ассиметрии; 4. характеристики эксцесса. В характеристики полжения входят - мода, медиана и среднее арифметическое значение. По-другому три эти характеристики называются мерами центральной тенденции. Мода - это наиболее часто встречающееся распределение признака, обозначается буквой M с индексом o. Его ещё называют модальное значение. Ещё есть модальный интервал - так именуется интервал, куда попадает наибольшее количество значений. Чаще всего модальное значение бывает в модальном интервале. Распределение величины может быть унимодальным и полимодальным. Унимодальное распределение - если мода в распределении одна. Если больше, то распределение называется полимодальным. Среднее арифметическое значение - обозначается буквой M с индексом x и считается по формуле (рис. 3 в тетради - не успела зарисовать) Медиана - такое значение случайной величины, которое делит упорядоченную в порядке возрастания или убывания выборку пополам. Обозначается буквой M с индексом e. При нечётном количестве случайных величин за медиану принимается непосредственно центральное значение. Если число значений случайной величины в выборке чётное, то медиана оказывается между двумя значениями. В этом случае значение медианы рассчитывается как среднее арифметическое между ними. На кривой распределения значение медианы всегда распологается между значениями моды и среднего арифметического. с. 33 (40) Мера центральной тенденции {Central Tendency) — это число, характеризующее выборку по уровню выраженности измеренного признака. Существуют три способа определения «центральной тенденции», каждому из которых соответствует своя мера: мода, медиана и выборочное среднее. Мода {Mode) — это такое значение из множества измерений, которое встречается наиболее часто. Моде, или модальному интервалу признака, соответствует наибольший подъем (вершина) графика распределения частот. Если график распределения частот имеет одну вершину, то такое распределение называется унимодальным. Когда два соседних значения встречаются одинаково часто и чаще, чем любое другое значение, мода есть среднее этих двух значений. Распределение может иметь и не одну моду. Когда все значения встречаются одинаково часто, принято считать, что такое распределение не имеет моды. Бимодальное распределение имеет на графике распределения две вершины, даже если частоты для двух вершин не строго равны. В последнем случае выделяют большую и меньшую моду. Во всей группе может быть и несколько локальных вершин распределения частот. Тогда выделяют наибольшую моду и локальные моды. Еще раз отметим, что мода — это значение признака, а не его частота. Медиана {Median) — это такое значение признака, которое делит упорядоченное (ранжированное) множество данных пополам так, что одна половина всех значений оказывается меньше медианы, а другая — больше. Таким образом, первым шагом при определении медианы является упорядочивание (ранжирование) всех значений по возрастанию или убыванию. Далее медиана определяется следующим образом:
Среднее (Mean) (Мх — выборочное среднее, среднее арифметическое) — определяется как сумма всех значений измеренного признака, деленная на количество суммированных значений. Если некоторый признак X измерен в группе испытуемых численностью N, мы получим значения: хи х2, ..., xh ..., xN (где / — текущий номер испытуемого, от 1 до N). Тогда среднее значение Мх определяется по формуле: Мх= — Ух,. (4.1) Свойства среднего. Если к каждому значению переменной прибавить одно и то же число с, то среднее увеличится на это число (уменьшится на это число, если оно отрицательное): 1  N^(*,+O=-^-I>;+c) = Mx+c. (4.2) А если каждое значение переменной умножить на одно и то же число с, то среднее увеличится в с раз (уменьшится в с раз, если делить на с): M  (XrC)=^i(xrc)=Mx-c. (4.3)Далее мы неоднократно будем обращаться к такой величине, как отклонение от среднего: (*,•— Мх). Из первого, очевидного свойства среднего следует 41 ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ еще одно важное свойство, не столь очевидное: сумма всех отклонений от среднего равна нулю: £(*,.-Л/х) = 0. (4.4) Соответственно, среднее отклонение от среднего также равно 0. |
Похожие:
 | Вопросы к контрольной работе и экзамену по дисциплине «Международное частное право» 8 | | Вопросы к экзамену по дисциплине «Психология и педагогика» для студентов специальности 010503 «Математическое обеспечение и администрирование... |
 | Вопросы к экзамену по дисциплине «История психологии» для студентов педагогического факультета специальности «Практическая психология»... | | Содержатся рабочая программа курса теории государства и права, задания к семинарским занятиям, тесты, краткий словарь основных терминов,... |
| Вопросы к зачету по дисциплине «Профессионально-этические основы социальной работы» 16 | | |
| | Для допуска к экзамену студентам-задолжникам дневного отделения, не посещавшим занятия по дисциплине «Метрология, стандартизация,... | |
| Вопросы к экзамену по дисциплине «Кормопроизводство с основами ботаники и агрономии» для студентов 2 и 3 курсов по специальности... | | Приложение. Задания для практических занятий и самостоятельной работы |
Разместите кнопку на своём сайте: