Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в




НазваниеДолгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в
страница2/7
Дата конвертации23.01.2013
Размер0.89 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7

3. Пример расчета 3.1.


Определить внутренние усилия и построить эпюры в арке, расчетная схема которой представлена на рис. 3.2.

Определение опорных реакций. Под действием заданной плоской системы сил

арка находится в равновесии. Нагрузки, приложенные к арке, вызывают реакции опор RА и RВ, каждую из которых всегда можно представить вертикальной VA (или VB ) и горизонтальной HA (или HB ) составляющими.


F1 = 5 кН

F2 = 9 кН

F3 = 6 кН

F4 = 10 кН

l = 24 м

f = 8 м

α1 = 3 м

α2 = 9 м

α3 = 14 м

α4 = 18 м






Рис. 3.2. Расчетная схема арки

Арка является распорной конструкцией, поэтому при действии на нее любой нагрузки в опорах возникают горизонтальные состав­ляющие опорных реакций, которые называются распором.

При действии на арку только вертикальной нагрузки горизонталь­ные составляющие обязательно должны быть равны между собой НА = НВ.

Д
ля определения опорных реакций отбросим связи, наложенные на арку, а их действия заменим силами (реакциями связей) (рис.3.3.).


Рис.3.3. Расчетная схема арки

Так как арка находится в равновесии, то система сил, дейст­вующих на арку (внешних и реакций связей), является уравновешенной. Из условия равновесия плоской системы сил определим реак­ции опор. Вертикальные составляющие опорных реакций можно опре­делить из условий равенства нулю суммы моментов всех сил отно­сительно центров правого и левого опорных шарниров т.е.:

  1. МВ = 0

  2. МА = 0,

где ∑МВ – сумма моментов всех сил относительно точки В;

МА – сумма моментов всех сил относительно точки А.

  1. VA · l – F1 · в1 – F2 · в2 – F3 · в3 – F4 · в4 = 0

  2. VВ · l – F1 · α1 – F2 · а2 – F3 · а3 – F4 · а4 = 0

Из первого уравнения определим величину вертикальной реакции опоры А:



VА = 15 кН

Из второго уравнения определим величину вертикальной реакции опоры В:



VВ = 15 кН

После вычисления вертикальных составляющих опорных реакций следует убедиться в правильности их определения, т.к. ошибка в определении их приведет к ошибкам и в определении горизонталь­ных составляющих опорных реакций, и в вычислении внутренних усилий Nк, Qк и Мк во всех сечениях арки.

Для правильности проверки полученных результатов рекомендует­ся составить уравнение равновесия, которое не использовалось при определении вертикальных составляющих опорных реакций. Так, например, если вертикальные опорные реакции определены вер­но, то сумма проекций всех сил на вертикальную ось должна быть тождественно равна нулю, т.е.:

Fy = 0

VА + VВ – F1 – F2 – F3 – F4 = 15 + 15 – 5 – 9 – 6 – 10 = 0.

Результат проверки свидетельствует о том, что вертикальные составляющие опорных реакций определены верно.

Если рассматривать арку в целом, то действующих уравнений статики недостаточно для определения горизонтальных составляющих опорных реакции, т.е.:

Fx = 0 НА – НВ = 0 НА = НВ.

Но если рассмотреть каждую часть в отдельности, то будем иметь шесть уравнений равновесия.

Из курса теоретической механики известно, что если вся система находится в равновесии, то любая ее часть должна находиться в равновесии. Рассечем арку по замковому шарниру «С» и рассмотрим равновесие одной части арки. Целесообразнее рассматривать равновесие той части арки, на которую действует меньше сил.

В
нашем случае безразлично, какую часть арки рассматри­вать, так как на ту и другую часть действуют по две сосредоточен­ных внешних силы и по две составляющих опорных реакций.

Рис. 3.4. Часть арки АС

Рассматриваем равновесие части арки АС. Отбрасывая правую полуарку ВС, дейст­вие ее на левую полуарку заменяем усилиями Vc и Нс, возникающими в шарнире «С» (рис. 3.4.). Составляем уравнение момен­тов всех сил, действующих на левую полуарку относи­тельно точки «С» и приравня­ем его нулю, т.е.:





НА = НВ = Н = 18 кН

Чтобы убедиться в правильности определения горизонтальных составляющих опорных реакций, нужно рассмотреть равновесие, напри­мер, правой (относительно шарнира С) части арки. Из уравнения равновесия получаем:



–15 · 12 + 18 · 6 + 6(12 – 10) + 10(12 – 6) = 0

Вывод: горизонтальные составляющие опорных реакций определены верно.

Определение внутренних усилий М, Q и N и построение эпюр

Для построения эпюр внутренних усилий в арке необходимо вычислить значения усилий в характерных усилиях арки, для примера характерными сечениями являются опорные и промежуточные шарниры арки и точки приложения сосредоточенных сил.

Точность построения эпюр усилий и точность расчёта зависит от количества сечений арки, в которых определяются уси­лия. Чем больше сечений, тем точнее расчет. Если характерных се­чений недостаточно, то нужно определить дополнительные сечения. Для этого целесообразно весь пролет арки разделить на равные части. Из полученных точек деления пролета восстановить перпендикуляры до пересечения с осью арки. Полученные точки на оси арки и будут являться дополнительными точками (сечениями). Они могут совпадать с характерными сечениями.





Рис. 3.5. Положение сечений арки

В нашем примере весь пролет арки разделим на части, равные 3 м, полученные сечения арки обозначим цифрами 1, 2, 3,.. и т.д. Положение сечений арки определяется координатами Х и У относительно начала осей координат (рис. 3.5.).

Координаты «X» всех сечений арки известны, они получены в результате деления горизонтальной проекции оси арки. В то время, как координаты «У» всех сечений неизвестны, их нужно определить. Так как ось арки очерчена по квадратной параболе, а уравнение квадратной параболы:

(8)

- тo, подставляя значения «Х» для каждого сечения в данное уравнение, можно определить значения «У» для каждого сечения. Например, для произвольного сечения «К»:

(9)

Построение эпюр следует начинать с эпюры изгибающих моментов М:

  • Изгибающий момент в сечении рамы вычисляется как алгебраическая сумма моментов относительно центра тяжести сечения всех сил, приложенных к отсеченной части. Ординаты эпюры изгибающих моментов откладываются со стороны растянутого волокна.

  • Поперечная сила в любом сечении арки равна сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от сечения, на нормаль к оси арки в рассматриваемом сечении.

  • Продольная сила в любом сечении арки равна сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от сечения, на касательную к оси арки в этом сечении

Правила знаков при определении усилий такие же, что и при определении знаков усилий в балках, т.е.:

  • изгибающий момент считается положительным, если он растягивает нижние волокна арки, т.е. уменьшает ее кривизну;

  • поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть стержень по ходу часовой стрелки;

  • продольная сила считается, положительной, если она направлена от сечения, т.е. стремится растянуть стержень.

Определим величину изгибающего момента в сечении I (рис. 3.6.).

Х1 = 3 м



Р
ис. 3.6. Определение величины изгибающего момента в сечении I


Изгибающий момент в сечении I:

М1 = VА· Х1 – НАУ1 = 15 · 3 – 18 · 2,625 = –2,25 кН·м

Учитывая, что VАХ1 = М1бал выражение для М1 можно записать в виде М1 = М1бал – Н ·У, где М1бал – изгибающий момент в сечении I простой балки пролётом l.

Последнее выражение удобно при вычислении значений изгибающих моментов в табличной форме.

Для удобства вычисления продольной и поперечной силы приведем все внешние силы, действующие по одну сторону от сечения к центру в точке I (рис. 3.7. б, в).

Рассматривая схему «б» рисунка 3.7, определяем значение попереч­ной силы справа от сечения I, проектируя все силы на ось ОУ:



Учитывая, что запишем ,

где Qбал.пр. – поперечная сила в сечении I простой балки про­летом l.

φ1 – угол между касатель­ной к оси арки в данном сече­нии и

горизонталью.





Рис. 3.7. Определение поперечной и продольной силы в сечении 1

а) схема сечения; б) схема определения Q; в) схема определения N

Для определения поперечной силы слева от сечения Q1лев рассмотрим схему в рисунка 3.7.:

или



Для определения продольной силы N1 спроектируем все силы, действующие на отсеченную часть арки, на ось ОХ, совпадающую с касательной в данном сечении.

Рассматривая схемы б и в рисунка 3.7., определим N1пр и N1лев:



или



или .

Численные значения sinφк и cosφк можно определить, используя формулы тригонометрических функций:



где .

Если ось арки задана в виде окружности, то значения Ук, sinφк и cosφк вычисляются согласно примечаниям.

Правильность вычисления значений sinφк и cosφк можно проверить по известному выражению:

sin2 φк + cos2 φк = 1.

Для сечения I в нашем примере:







Проверка:



Вывод: значения sinφ1 и cosφ1 определены верно.

Подставляя полученные значения sinφ1 и cosφ1 в выражения для определения Q и N в сечении I получим:

Q1лев = 15 · 0,8 – 18 · 0,6 = 1,2 кН

Q1прав = 15 · 0,8 – 5 · 0,8 – 18 · 0,6 = –2,8 кН

N1лев = –15 · 0,6 – 18 · 0,8 = –23,4 кН

N1прав = –15 · 0,6 + 5 · 0,6 – 18 · 0,8 = 20,4 кН

Аналогично определяются усилия во всех сечениях арки.

Сечение 2.









М2 = 15 · 6 – 18 · 4,5 – 5 · 3 = –6 кНм

Q2 = 15 · 0,89 – 18 · 0,446 – 5 · 0,89 = 0,87 кН

N2 = –15 · 0,446 + 5 · 0,446 – 18 · 0,89 = –20,48 кН

Сечение 3.









М3 = 15 · 9 – 18 · 5,625 – 5 · 6 = 3,75 кНм

Q3лев = 15 · 0,97 – 5 · 0,97 – 18 · 0,24 = 5,38 кН

Q3прав = 15 · 0,97 – 5 · 0,97 – 9 · 0,97 – 18 · 0,24 = –3,35 кН

N3лев = –15 · 0,24 + 5 · 0,24 – 18 · 0,97 = –19,86 кН

N3прав = 17,7 кН

Сечение С.

Ус = f = 6 м

tgφc = 0

sinφc = 0

cosφc = 1

Mc = 0

Qc = VА – F1 – F2 = 15 – 5 – 9 = 1

Сечение 4.









М4 = Vв · 10 - Нв · У1 – F4 · 4 = 15 · 10 – 18 · 5,83 – 10 · 4 = 5,1 кН

Q4лев = –Vв · cosφ4 + Hв ·sinφ4 + F4 · cos φ4 + F3 · cos φ4 =

= –15 · 0,99 + 18 · 0,17 + 10 · 0,99 + 6 · 0,99 = 4,05 кН

Q4прав = –Vв · cosφ4 + Hв ·sinφ4 + F4 · cos φ4 + =

= –15 · 0,99 – 18 · 0,17 + 10 · 0,99 + 6 · 0,99 = –1,99 кН

N4лев = –Vв · sinφ4 + Hв ·соsφ4 + F4 · sinφ4 + F3 · sinφ4 =

= –15 · 0,17 – 18 · 0,99 + 10 · 0,17 + 6 · 0,17 = –17,68 кН

N4прав = –15 · 0,17 – 18 · 0,99 + 10 · 0,17 = –18,67 кН

Сечение 5.









М5 = Vв ·9 – Нв · У5 – F4 ·3 = 15 · 10 – 18 · 5,8825 – 10 · 3 = 3,75 кН

Q5 = –15 · 0,97 – 18 · 0,24 + 10 · 0,97 = –0,53 кН

N5 = –15 · 0,24 – 18 · 0,97 + 10 · 0,24 = –18,7 кН

Сечение 6.









М6 = Vв · 6 – Нв · Ув = 15 · 6 – 18 · 4,5 = 9,0 кН

Q6лев = –Vв · cosφ6 + Hв ·sinφ6 + F4 · cos φ6 =

= –15 · 0,89 + 18 · 0,446 + 10 · 0,89 = 3,58 кН

Q6прав = –Vв · cosφ6 + Hв ·sinφ6 = 15 · 0,89 – 18 · 0,446 = –5,32 кН

N6лев = –Vв · sinφ6 + Hв ·соsφ6 + F4 · sinφ4 =

= –15 · 0,446 – 18 · 0,89 + 10 · 0,446 = –17,68 кН

N4прав = –15 · 0,17 – 18 · 0,99 + 10 · 0,17 = –18,25 кН

Сечение 7.

У7 = У1 = 2,625 м

tgφ7 = –tgφ1 = –0,75

sinφ7 = –sinφ1 = –0,6

cosφ7 = cosφ1 = 0,8

М7 = Vв ·3 – Нв · У7 = 15 · 3 – 18 · 2,625 = –2,25 кН

Q7 = –Vв · cos φ7 + Hв · sin φ7 = –15 · 0,8 + 18 · 0,6 = –1,2 кН

N7 = –Vв · sinφ7 – Нв ·cos φ7 = –15 · 0,8 – 18 · 0,8 = –23,4 кН

Сечение 8.

У8 = 0

tgφ8 = –tgφА = 1

sinφ8 = –sinφА = –0,71

cosφ8 = cosφА = 0,71

М8 = 0

Q8 = –Vв · cos φ8 + Hв · sin φ8 = –15 · 0,71 + 18 · 0,71 = 2,13 кН

N8 = –Vв · sinφ8 – Нв ·cos φ8 = –15 · 0,71 – 18 · 0,71 = –34,08 кН

Целесообразно результаты вычислений свести в таблицу (см. таблицу 1).

По полученным данным строим эпюры усилий в двух вариантах:

  1. На самой оси арки;

  2. На горизонтальной базисной линии.

П
римечание: При определении усилий в сечениях 4, 5, 6, 7 и 8 значения sinφк берутся без учета знака «минус», если учитывать внешние си­лы, действующие справа от рассматриваемых сечений. В этом случае угол φк становится больше 90º (рис.3.8.).

Рис.3.8. Определение значения sinφк.

ПРИМЕЧАНИЕ:

Если очертание оси арки задано в виде окружности, то необходи­мые дополнительные данные следует определять следующим образом:

Уравнение окружности:

(10)

откуда:

(11)

(12)

(13)

(14)

Таблица 1




Хк

М

Ук

М

tgφк

sinφк

cosφк

Мк

кНм

Qк

кН

Nк

кН

1

2

3

4

5

6

7

8

9

А

0

0

1,0

0,71

0,71

0

-2,13

-23,43

1лев

3

2,625

0,75

0,6

0,8

-2,25

+1,2

-23,4

1прав

3

2,625

0,75

0,6

0,8

-2,25

-2,8

-20,4

2

6

4,5

0,5

0,446

0,89

-6

0,87

-20,48

3лев

9

5,625

0,25

0,24

0,97

3,75

5,38

-19,86

3прав

9

5,625

0,25

0,24

0,97

3,75

-3,25

-17,7

С

12

6,0

0

0

1,0

0

1

-18

4лев

14

5,83

-0,17

-0,17

0,99

5,1

4,05

-17,68

4прав

14

5,83

-0,17

-0,17

0,99

5,1

-1,99

-18,67

5

15

5,625

-0,25

-0,24

0,97

3,75

-0,53

-18,7

6лев

18

4,5

-0,5

-0,446

0,89

9,00

3,58

-18,25

6прав

18

4,5

-0,5

-0,446

0,89

9,00

-5,32

-22,71

7

21

2,625

-0,75

-0,6

0,8

-2,25

-1,2

-23,4

В

24

0

-1,0

-0,71

0,71

0

2,13

-34,08


По полученным данным строим эпюры усилий в 2-х вариантах:

  1. На горизонтальной базис­ной линии (рис.3.9.).

  2. На самой оси арки (рис. 3.10.).


Р
ис. 3.9. «Спрямленные» эпюры (I вариант)







Рис. 3.10. Эпюры на оси арки (II вариант)


1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconА. Я. Флиер культура как стадия эволюции жизни
Но это лишь гипотезы; никаких наблюдаемых фактов (по крайней мере, достаточно очевидных), подтверждающих вероятность такого рода...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconПрограмма «Я выбираю жизнь»
Люди победили чуму, малярию, тиф… Но пьянство, наркомания, спид, словно злые джинны, терзают человечество. Эти проблемы в нашем обществе...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconЦели, задачи и организация работы
Люди победили чуму, малярию, тиф… Но пьянство, наркомания, спид, словно злые джинны, терзают человечество. Эти проблемы в нашем обществе...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconКак позиционировать инструменты в пространстве?
Однако это не единственный способ позиционирования инструментов, ведь в докомпьютерное время звукоинженерам как-то удавалось создавать...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconПравославная церковь и современная наука о проблеме генетических инверсий
Это открытие долгое время тщательно скрывалось. В настоящее время у него бесчисленное множество противником Наши девочки (12-14 лет)...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconКафедра железобетонных и каменных конструкций
Разработка, исследование и совершенствование методов расчета конструкций и сооружений

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconРазработка методов расчета и принципов конструирования сборных плитных фундаментов и подпорных стен и их экспериментальное обоснование
Охватывает вопросы расчета грунтового основания с выбором определенной модели, расчета конструкции на сжимаемом основании и подбора...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconДмитрий Силлов Закон снайпера S. T. A. L. K. E. R.
Зону. Но Зона помнит о нем и всеми силами пытается уничтожить. Но он — Снайпер и он идет к цели, несмотря ни на что. Его цель — Монолит,...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconПрофилактика детских правонарушений, преступлений, безнадзорности и беспризорности Профилактика детского алкоголизма, табакокурения и наркомании
Люди победили чуму, малярию, тиф Но пьянство, наркомания, спид, словно злые джинны, терзают человечество. Эти проблемы в нашем обществе...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в icon-
Воистину, Господь мой запретил недостойные поступки, как явные, так и скрытые, а также греховные поступки, несправедливое притеснение,...


Разместите кнопку на своём сайте:
lib.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©lib.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
lib.convdocs.org
Главная страница