Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в




НазваниеДолгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в
страница5/7
Дата конвертации23.01.2013
Размер0.89 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7
ГЛАВА VI


ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ


1. Общие сведения

Определение перемещений необходимо при расчете сооружений на жесткость, а также при расчете статически неопределимых систем, когда, помимо уравнений равновесия, приходится составлять уравнения пере­мещений.

Различают три рода воздействий, вызывающих те или иные перемеще­ния: 1) силовое, 2) смещение опор или других связей, 3) температур­ное.

Рассмотрим общий метод определения перемещений от силового воздействия применительно к балкам и рамам. При этом бу­дем, пользоваться следующими общепринятыми обозначениями перемеще­ний:

∆ —перемещение от заданной нагрузки;

δ —перемещения от еди­ничной силы.

У каждой из этих букв будем ставить два индекса; первый — указывающий точку и направление перемещения, второй — причину, вызвавшую перемещение. Например, ∆31 обозначает перемещение точки приложения силы Р3 по ее направлению, вызванное действием силы Р1;

δ31 — перемещение по направлению силы Р3, вызванное единичной силой Р1 = 1 и т. д. При этом индексы читаются: три — один, но не тридцать один.

При определении перемещений будем рассматривать заданную систему в двух состояниях: 1-е состояние — действительное, когда к системе приложена заданная нагрузка; 2-е состояние — единичное, когда к си­стеме по направлению искомого перемещения приложена единичная «сила», а заданная нагрузка отброшена. В данном случае единичная «си­ла» — обобщенное понятие, так как в зависимости от определяемого пере­мещения это может быть сосредоточенная сила Р =1, сосредоточенный момент т = 1 и т.д. Все единичные силы — величины безразмерные.

Общая формула перемещений от силового воздействия имеет вид (16):



где ∆21 — перемещение по направлению единичной силы 2-го состояния от сил 1-го состояния (от заданной нагрузки), т. е. искомое перемещение; M1, N1 и Q1 — соответственно изгибающий момент, продольная и поперечная силы в сечении от заданной нагрузки (рассматривается 1-е состоя­ние); М2, N2 и Q2—соответственно изгибающий момент, продольная и поперечная силы в том же сечении (рассматривается 2-е состояние); k —коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.

Вместо цифровых индексов в формуле (16) часто ставят буквенные, например т и n. В этом случае она принимает вид (17):



В этих формулах ∫ указывает на интегрирование в пределах рассматриваёмого участка длиной l, а знак ∑ — на суммирование результатов интегрирования по всем участкам.

Практически определение перемещений в балках, рамах, а иногда и в арках производится по формуле (18):



так как влияние продольных и поперечных сил на перемещения незначи­тельно и. ими в большинстве случаев пренебрегают.

Если жесткость EJ в пределах каждого элемента системы постоянна, то последняя формула примет вид (19):



Определение перемещений по общей формуле производят в следующем порядке:

  1. Прикладывают по направлению искомого перемещения единичную «силу», (2-е состояние), соответствующую определяемому перемещению. При этом надо иметь в виду, что:

а) если определяют перемещение одной точки по какому-либо направ­лению, то прикладывают сосредоточенную единичную силу Р =1, дей­ствующую по направлению этого перемещения;

б) если определяют угол поворота какого-либо сечения, то соответству­ющая единичная «сила» представляет собой сосредоточенный единичный момент т =1, приложенный в этом сечении;

в) если определяют взаимное перемещение двух точек по какому-либо направлению, то соответствующая единичная «сила» представляет собой группу из двух противоположно направленных сосредоточенных сил Р = 1, действующих по линии искомого перемещения и приложенных в тех точках, взаимное перемещение которых определяют;

г) если определяют угол взаимного поворота двух сечений, то соот­ветствующая единичная «сила» представляет собой два противоположно направленных сосредоточенных момента т = 1, приложенных к этим се­чениям.

2. Находят выражения усилий M1, N1 и Q1 как функции координаты х произвольного сечения (рассматривается 1-е состояние системы).

  1. Находят выражения усилий M2, N2 ,Q2 как функции координаты х произвольного сечения (рассматривается 2-е состояние).

  2. Подставляют полученные выражения в формулу перемещений и интегрируют по участкам. Суммируя результаты интегрирования для всех участков системы, получают искомое перемещение ∆21. Если найден­ное перемещение положительно, то оно совпадает с направлением единич­ной силы, если же отрицательно, то противоположно этому направлению.

2. Вычисление интегралов Мора способом перемножения эпюр

(Правило А. Н. Верещагина)

Применение этого способа в значительной степени упрощает вычисление интеграла Мора. Способ заключается в следующем. Строят эпюры нагибающих момен­тов от заданной нагрузки (эпюры Мп) и от единичной нагрузки (эпюру Мn). Пусть первая эпюра имеет криволинейное очертание, а вторая — прямо­линейное. Тогда интеграл Мора может быть вычислен как произведение площади ωп эпюры криволинейного очертания (рис.6.1, а) на ординату уп прямолинейной эпюры (рис. 6.1., б), взятую под центром, тяжести криволи­нейной, т. е.

, (20)

При перемножении эпюр ставят знак плюс, когда обе эпюры имеют одина­ковые знаки, и знак минус, когда их знаки разные.




Рис. 6.1. Эпюры моментов


Следует иметь в виду, что эпюра, для которой вычисляется площадь ω, может быть любого очертания (не только кри­волинейная), эпюра же, из которой берется ордината у, обязательно дол­жна быть прямолинейной. Если обе эпюры прямолинейные, то из одной (любой) может быть определена площадь ω, а из другой взята ордината у. Когда одна из эпюр имеет сложное очертание, ее разбивают на простые фигуры.

В этом случае:

ω·y = ω1 ·y1 + ω2·y2 + ω3·y3 +…+ ωn·yn (21)

В таблице 3 приведены значения площадей и абсцисс центров тяжести наиболее часто встречающихся фигур.

Если одна или обе эпюры очерчены ломаной линией, то их разбивают на участки таким образом, чтобы, по крайней мере, одна из перемножаемых эпюр в пределах каждого участка была прямолинейной.

Формула для определения перемещений с использованием правила А. Н. Верещагина имеет вид:

1p = ∑ ω·y/E·I (22)

Здесь первый индекс (1) при ∆ показывает, что перемещение опреде­ляют по направлению единичной силы единичного состояния системы, второй (Р), — что это перемещение вызвано заданной нагрузкой.

В даль­нейшем эпюру моментов от единичной силы будем обозначать M1, а от за­данной нагрузки — Mр.


3. Примеры определения перемещений в статически определимых системах

Пример 6.1.

Определить угол поворота сечения В бал­ки, защемленной одним кон­цом (рис.6.2, а) и нагруженной равномерно распре­деленной нагрузкой интен­сивностью q =2 кН/м. Жест­кость балки постоянна.



Рис. 6.2. Расчетная схема балки к примеру 6.1.

Решение

1-е состо­яние балки (действительное) показано на рис.6.2, а. Что­бы получить 2-е состояние (единичное), изображаем балку без заданной нагрузки, приложив в сече­нии В единичный момент т = 1 (рис.6.2, б).

Изгибающий момент в произвольном сечении 1-го состояния балки



Для 2-го состояния



Подставив эти значения в формулу (19), найдем после интегрирования угол поворота сечения В:






Пример 6.2.

Определить про­гиб свободного конца балки, защемленной одним концом (рис. 6.3, а). Жесткость балки постоянна.



Рис.6.3. Расчетная схема балки к примеру 6.2.

Решение

На рис. 6.3, б изображаем 2-е состояние бал­ки, приложив в точке В еди­ничную сосредоточенную силу. В действительном состоянии балка имеет два участка.

Для участка СВ: М1 = —Рх,; для участка AC: M1 = — РхР(хb)= 2Рх+ Рb .

Во втором состоянии для обоих этих участков М2 = 1∙х= х

Искомое перемещение:






Пример 6.3.

Определить прогиб в середине пролета балки изображенной на рис.6.4., а. Жесткость балки постоянна.



Рис.6.4. Расчетная схема балки к примеру 6.3.

Решение

По направлению искомого перемещения прикладываем посредине балки во 2-м состоянии единичную сосредоточенную силу (рис. 6.4., б). Опорные реакции для действительного состояния: А =В = ql/2, для единичного состояния А = В = 1/2. Изгибающий момент в произвольном сечении действительного состояния балки:



Во 2-м состоянии балка имеет два рав­ных участка.

Для левого участка:



Ввиду симметрии балки величина ин­теграла для правой ее половины будет та­кая же, как и для левой. Поэтому интег­рирование будем вести в пределах левой половины балки, поставив перед интегра­лом коэффициент 2.

Итак, искомое перемещение:




Пример 6.4.

Определить вертикальное перемещение точки В рамы, изображенной па рис.6.5, а. Жесткость стойки АС и ригеля СВ равна соответственно 2EJ и EJ.

Решение

Во вспомогательном (2-м) состоянии приложим в точке S. вертикальную единичную силу (рис. 6.5, б). Составим выражения изгибающих моментов.

Для ригеля:

а) от заданной нагрузки:



б) от единичной нагрузки



Для стойки:

а) от заданной нагрузки:



б) от единичной силы:






Рис. 6.5. Расчетная схема рамы

Искомое перемещение:











Пример 6.5.

Определить. горизонтальное перемещение точки В рамы, изображенной на рис.6.6, а. Жесткость стержней АС и CD равна 2EJ, жесткость стержня DB равна EJ.



Рис.6.6. Расчетная схема рамы

Решение

Вычертим 2-е состояние рамы (рис.6.6., б), приложив в точке В горизонтальную единичную силу Р =1.

Определяем опорные реакции:

а) от заданной нагрузки

∑X=, откуда 

, откуда 

, откуда 


б) от единичной силы:

∑X=

Так как линия действия силы Р = 1 проходит через центры обоих опорных шарниров А и В, то ее моменты относительно этих центров равны

нулю, следовательно, 

Составим выражения изгибающих моментов.

Для стойки АС:

а) для заданной нагрузки



б) от единичной силы




Для ригеля CD:

а) от заданной нагрузки:



б) от единичной силы:



Для стойки BD:

а) от заданной нагрузки:



б) от единичной силы:



Искомое перемещение:












Пример 6.6.

Определить угол поворота свободного конца балки, изображенной на рис. 6.2., а способом А.Н. Верещагина. Жесткость балки постоянна.

Решение

Вычисляем изгибающие моменты от заданной нагрузки. Изгибающий момент в произвольном сечении балки:



при x=0 MB=0

при х = 2,5 м Мх = —2,52 = —6,25 кН∙м;

при х = 5 м Ма = — 52 = — 25 кН∙м.

По полученным данным строим эпюру Мр (рис.6.7, б).



Рис. 6.7. Расчетная схема к пр.6.6.

Вычерчиваем балку в единичном состоянии (рис. 6.7., в) и вычисляем изгибающие монеты в характерных сечениях:



Эпюра приведена на рис. 6.7., г.

Вычисляем с помощью таблицы 1 площадь ω эпюры Мр

ω = l ·h/3 = 5х25/3 = 41,7 кН м3

Ординату у берем из прямолинейной эпюры (у = 1). Так как обе эпюры отложены по одну сторону от оси (они имеют оди­наковый знак), то искомое перемещение будет положительным:

1p = φв = (1/ E·I ) 41.7 · 1 = 41,7/ E·I

Такой же результат был получен и в примере 6.1.

Таблица 3

Вид эпюры изгибающих моментов

Площадь эпюры

ω

Абсциссы центра тяжести эпюры

X1

X2





Lh


Lh/ 2


Lh/ 3


2Lh/ 3


2Lh/ 3


2Lh/ 3



L/2


L/3


L/4


L/2


3Lh/ 8


L/2



L/2


2L/3


3L/4


L/2


5Lh/ 8


L/2




Пример 6.7.

Определить прогиб свободного конца балки, изображен­ной на рис. 6.8., а. способом А.Н Верещагина. Жесткость балки постоянна.



Рис. 6.8. Расчетная схема к примеру 6.7.

Решение

Вычисляем изгибающие моменты от заданной нагрузки:



Эпюра Мр построена на рис.6.8., б.

Вычисляем изгибающие моменты в сечениях балки единичного состояния (рис. 6.8., в):



Эпюра Mр приведена на рис.6.8., г.

Разбиваем эпюру Мр на три простые фигуры, как показало на рис.6.8., б и определяем их площади:



Вычисляем ординаты у1, у2 и у3, взятые под центрами тяжести соответствующих площадей.

Так как основание и высота треугольника ad1b име­ют одинаковые значения, то эти ординаты равны расстояниям до них: от точки b и их можно получить из подобия треугольников. Например, у 3/1,33 =h/l =5/5, откуда у3 =1,33 м. Итак, у1 = 4 м; у2 =3,5 м; у3 =1,33 м.

Искомое перемещение:




4. Вопросы для самопроверки

  1. Какие системы называют статически определимыми?

  2. Как определяется грузовое и единичное состояние системы?

  3. Что называется жесткостью стержня при изгибе?

  4. Как определяется момент инерции прямоугольного и прокатного профиля?

  5. Формула интеграла Мора?

  6. В чем состоит метод Верещагина?



1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconА. Я. Флиер культура как стадия эволюции жизни
Но это лишь гипотезы; никаких наблюдаемых фактов (по крайней мере, достаточно очевидных), подтверждающих вероятность такого рода...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconПрограмма «Я выбираю жизнь»
Люди победили чуму, малярию, тиф… Но пьянство, наркомания, спид, словно злые джинны, терзают человечество. Эти проблемы в нашем обществе...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconЦели, задачи и организация работы
Люди победили чуму, малярию, тиф… Но пьянство, наркомания, спид, словно злые джинны, терзают человечество. Эти проблемы в нашем обществе...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconКак позиционировать инструменты в пространстве?
Однако это не единственный способ позиционирования инструментов, ведь в докомпьютерное время звукоинженерам как-то удавалось создавать...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconПравославная церковь и современная наука о проблеме генетических инверсий
Это открытие долгое время тщательно скрывалось. В настоящее время у него бесчисленное множество противником Наши девочки (12-14 лет)...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconКафедра железобетонных и каменных конструкций
Разработка, исследование и совершенствование методов расчета конструкций и сооружений

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconРазработка методов расчета и принципов конструирования сборных плитных фундаментов и подпорных стен и их экспериментальное обоснование
Охватывает вопросы расчета грунтового основания с выбором определенной модели, расчета конструкции на сжимаемом основании и подбора...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconДмитрий Силлов Закон снайпера S. T. A. L. K. E. R.
Зону. Но Зона помнит о нем и всеми силами пытается уничтожить. Но он — Снайпер и он идет к цели, несмотря ни на что. Его цель — Монолит,...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в iconПрофилактика детских правонарушений, преступлений, безнадзорности и беспризорности Профилактика детского алкоголизма, табакокурения и наркомании
Люди победили чуму, малярию, тиф Но пьянство, наркомания, спид, словно злые джинны, терзают человечество. Эти проблемы в нашем обществе...

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в icon-
Воистину, Господь мой запретил недостойные поступки, как явные, так и скрытые, а также греховные поступки, несправедливое притеснение,...


Разместите кнопку на своём сайте:
lib.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©lib.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
lib.convdocs.org
Главная страница