511211 – Математическое моделировани

1. 
   010102 “Дифференциальные уравнения”
   
2. 
   010107 - "Вычислительная математика"
   
3. 
   051318 “Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ”.
   
4. 
   010204 ”Механика деформируемого твердого тела”
   
5. 
   010205 «Механика жидкости, газа и плазмы
   

1. 
   Определители N-го порядка. Свойства определителей. Разложение определителя по минорам.
   
2. 
   Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость элементов. Базис и размерность пространства. Размерность суммы пространств *. Прямая сумма, разложение линейного пространства в прямую сумму одномерных подпространств.
   
3. 
   Матрицы и действия с ними. Теорема о ранге матрицы. Определитель произведения матриц. Обратная матрица.
   
4. 
   Системы линейных уравнений. Теорема Крамера *. Критерий совместности и строение общего решения совместной системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.
   
5. 
   Линейные операторы. Размерность ядра и образа линейного оператора *. Собственные числа и векторы, теорема о связи собственных чисел линейного оператора с корнями его характеристического уравнения.
   
6. 
   Евклидовы и унитарные пространства. Процесс ортогонализации, ортонормированный базис. Разложение пространства в прямую сумму пространства и его ортогонального дополнения *.
   
7. 
   Общая алгебра. Основные алгебраические системы: полугруппы и группы, кольца и поля, решетки. Гомоморфизмы и конгруэнции.
   
8. 
   Теория пределов. Предел последовательности, его свойства. Верхняя и нижняя грани множества. Лемма о стягивающихся отрезках *. Лемма о выделении конечного покрытия. Теорема Больцано-Вейерштрасса *. Предел монотонной функции. Критерий Коши о существовании предела последовательности *.
   
9. 
   Непрерывные функции. Различные определения непрерывности функции в точке и их эквивалентность. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. Теорема Коши о промежуточных значениях *. Теорема Вейерштрасса о функциях, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве *. Теорема Кантора о равномерной непрерывности *.
   
10. 
    Дифференцируемые функции. Теорема Ролля, Лагранжа *. Правило Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом. Признаки возрастания и убывания функции. Правило нахождения экстремальных значений функции.
    
11. 
    Интегральное исчисление. Теорема существования определенного интеграла *. Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва. Теорема о среднем значении интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.
    
12. 
    Функции многих переменных. Полный дифференциал. Достаточные условия дифференцируемости *. Теоремы существования, непрерывности, дифференцируемости неявной функции.
    
13. 
    Числовые ряды. Критерий Коши. Признаки сходимости (Даламбера, Коши).
    
14. 
    Функциональные ряды. Признаки Вейерштрасса о равномерной сходимости ряда *. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда *. Теорема о почленном дифференцировании функционального ряда.
    
15. 
    Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование несобственного интеграла по параметру.
    
16. 
    Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним *. Теорема о существовании и единственности решения *.
    
17. 
    Линейные дифференциальные уравнения N-го порядка. Теорема об общем решении линейного однородного уравнения *. Линейное неоднородное уравнение, метод вариации производных постоянных *. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение, случай простых *, кратных, комплексных корней. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами.
    
18. 
    Системы дифференциальных уравнений. Типы уравнений N-го порядка, разрешаемые в квадратурах. Типы уравнений N-го порядка, допускающие понижение порядка. Системы линейных дифференциальных уравнений, фундаментальная система решений *. Формула Остроградского – Лиувилля *. Неоднородные системы линейных уравнений, метод вариации произвольных постоянных *. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, случай простых корней *.
    
19. 
    Устойчивость по Ляпунову. Определение понятия устойчивости, асимптотической устойчивости. Функции Ляпунова. Теорема об устойчивости *. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости *. 1-ая теорема Ляпунова о неустойчивости *. 2-ая теорема Ляпунова о неустойчивости *. Теоремы об устойчивости по первому приближению.
    

Литература

1. 
   Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии.
   
2. 
   Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
   
3. 
   Владимиров В.С. Уравнения математической физики
   
4. 
   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функий и функционального анализа
   
5. 
   Кудрявцев Л.Д. Математический анализ
   
6. 
   Курош А.Г. Курс высшей алгебры
   
7. 
   Мальцев А.И. Основы линейной алгебры
   
8. 
   Маркушевич А.И. Введение в теорию аналитических функций
   
9. 
   Никольский С.М. Курс математического анализа
   
10. 
    Петровский И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям
    
11. 
    Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными
    
12. 
    Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения
    
13. 
    Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного
    
14. 
    Рашевский П.К. Дифференциальная геометрия
    

Общие вопросы.

Динамические системы.

Математическая физика.

Элементы функционального анализа.

Численные методы.

• 
  Механика сплошных сред
  

Литература.

1. 
   Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М., Наука, 1988.
   
2. 
   Н.Н. Моисеев. Математические задачи системного анализа. М., Наука, 1981.
   
3. 
   Н.Н. Моисеев. Алгоритмы развития, М., Наука, 1981.
   
4. 
   Ю. Одум. Экология. М., Мир, 1986.
   
5. 
   Д. Форрестер. Мировая динамика. М., Наука, 1978.
   
6. 
   Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1974.
   
7. 
   А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Дифференциальные уравнения. М., Наука, 1980.
   
8. 
   Г. Шустер. Детерминированный хаос. Введение. М., Мир, 1988.
   
9. 
   А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М., Наука, 1971.
   
10. 
    А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М., Наука.
    
11. 
    А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1972.
    
12. 
    А.А. Люстерник, В.И. Смирнов. Краткий курс функционального анализа. Высшая школа, 1982.
    
13. 
    А.А. Самарский. Введение в численные методы. М., Наука, 1988.
    
14. 
    Н.Н. Калиткин. Численные методы. М., Наука, 1978.
    
15. 
    Г.И. Марчук. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977.
    
16. 
    А.А. Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1988.
    
17. 
    Н.С.Бахвалов. Численные методы. М., Наука, 1973.
    
18. 
    Э. Йордан. Структурное программирование и проектирование программ. М., Мир, 1979.
    
19. 
    Э. Хант. Искусственный интеллект. М., Мир, 1978.
    
20. 
    Г.С. Поспелов. Искусственный интеллект - основа новых информационных технологий. М., Наука, 1989.
    
21. 
    Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Гидродинамика, (Любое издание)
    
22. 
    Л.М. Бреховских, В.В.Гончаров. Введение в механику сплошных сред. М. Наука, 1982.