Методические указания к решению задач по кинематике
Скачать 1.01 Mb.
|
| Раздел: Физические основы механики 1. Кинематика. Введение. 1.1. Радиус-вектор материальной точки 1.2.Кинематические уравнения движения материальной точки 1.3. Траектория материальной точки 1.4.Вектор перемещения 1.5. Скорость 1.6. Ускорение 1.7. Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения 1.8. Методические указания к решению задач по кинематике 2. Кинематика вращательного движения. Введение 2.1. Угол поворота твердого тела 2.2. Угловая скорость 2.3. Период и частота обращения 2.4. Угловое ускорение 2.5. Связь угловых и линейных величин 3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела 3.1. Первый закон Ньютона 3.2. Понятие о силе 3.3. Масса. Второй закон Ньютона 3.4. Принцип независимости действия сил 3.5.Основное уравнение динамики поступательного движения материальной точки. Импульс материальной точки 3.6. Центр инерции системы 3.7. Универсальная форма второго закона Ньютона, выраженная через импульс системы 3.8. Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела 3.9.Третий закон Ньютона 3.10 Преобразование координат Галилея и механический принцип относительности 3.10.Изолированная (замкнутая) система. Закон сохранения импульса 3.11. Методические указания к решению задач по динамике 4. Энергия и работа 4.1. Основные понятия об энергии механической системы 4.2. Работа 4.3. Консервативные силы. Условие потенциальности силового поля 4.4. Мощность 4.5 Кинетическая энергия 4.6.Потенциальная энергия 4.7. Закон сохранения и превращения энергии 4.8. Связь между потенциальной энергией и силой 5. Динамика вращательного движения твердого тела. Введение 5.1. Особенности вращательного движения 5.2. Вращающий момент (или момент силы) 5.3. Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения 5.4. Момент инерции твердого тела 5.5. Второй закон Ньютона для вращательного движения и его анализ 5.6. Момент импульса материальной точки и твердого тела 5.7. Основное уравнение динамики вращательного движения 5.8. Закон сохранения момента количества движения 5.9. Гироскоп. Гироскопический эффект 5.10. Кинетическая энергия вращающегося тела 5.11. Работа внешних сил при вращении твердого тела 6. Специальная теория относительности. Введение 6.1. Преобразования Лоренца 6.2. Одновременность событий в разных системах отсчета 6.3. Длина тел в разных системах 6.4. Длительность событий в разных системах отсчета 6.5. Релятивистский закон сложения скоростей 6.6. Релятивистский импульс Раздел: Кинематика поступательного движения материальной точки и твердого тела 1. Кинематика. Введение. 1.1. Радиус-вектор материальной точки 1.2.Кинематические уравнения движения материальной точки 1.3. Траектория материальной точки 1.4.Вектор перемещения 1.5. Скорость 1.6. Ускорение 1.7. Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения 1.8. Методические указания к решению задач по кинематике 1. Кинематика. Введение. Предмет механики. Механикой называют раздел физики, посвященный изучению закономерностей простейшей формы движения материи - механического движения. Механика состоит из трех подразделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика изучает движение тел без учета причин, его вызывающих. Она оперирует такими величинами как перемещение, пройденный путь, время, скорость движения и ускорение. Динамика исследует законы и причины, вызывающие движение тел, т.е. изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. К кинематическим величинам добавляются величины - сила и масса. В статике исследуют условия равновесия системы тел. Статика излагается в специальных разделах механики и здесь отдельно рассматриваться не будет. Система отсчета. Под системой отсчета понимается совокупность системы координат и часов. Понятие системы отсчета, включает в себя пространственно-временную характеристику положения тела, при этом пространственная характеристика дается с помощью координат, а временная – с помощью часов. Механическим движением называется изменение взаимного расположения тел относительно друг друга в пространстве с течением времени. Любое механическое движение относительно. Материальной точкой называется такое тело, размерами и формой которого можно пренебречь в сравнении с размерами других тел или расстояниями до них в условиях данной задачи. Рассмотрим движение материальной точки М в прямоугольной системе координат, поместив начало координат в точку О на Земле.  Положение точки М относительно системы отсчета можно задать не только с помощью трех декартовых координат  , но также с помощью одной векторной величины  - радиус-вектора точки М, проведенного в эту точку из начала системы координат (рис. 1.1). Если  - единичные вектора (орты) осей прямоугольной декартовой системы координат, то
Векторы  называются проекциями вектора вдоль соответствующих осей координат. Радиус-вектор  представляет собой направленный отрезок прямой проведенный из начала системы координат т.О в данную точку пространства.1.2.Кинематические уравнения движения материальной точки При движении материальной точки М ее координаты и радиус-вектор изменяются с течением времени t. Поэтому для задания закона движения м.т. необходимо указать либо вид функциональной зависимости всех трех ее координат от времени:
либо зависимость от времени радиус-вектора этой точки
Три скалярных уравнения (1.2) или эквивалентное им одно векторное уравнение (1.3) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки. 1.3. Траектория материальной точки Траекторией материальной точки называется линия, описываемая в пространстве этой точкой при ее движении. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения точки. Если все участки траектории точки лежат в одной плоскости, то движение точки называют плоским. Уравнения (1.2) и (1.3) задают траекторию точки в так называемой параметрической форме. Роль параметра играет время t. Решая эти уравнения совместно и исключая из них время t, найдем уравнение траектории. Длина пути. Длиной пути  материальной точки называют сумму длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени.1.4.Вектор перемещения  Вектором перемещения материальной точки за время от  , т.е. приращение радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени
При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории. Из того, что перемещение является вектором, следует подтверждающийся на опыте закон независимости движений: если материальная точка участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме ее перемещений, совершаемых ею за тоже время в каждом из движений порознь. 1.5. Скорость Для характеристики движения материальной точки вводят векторную физическую величину - скорость, определяющую как быстроту движения, так и направление движения в данный момент времени.  Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории МN так, что в момент времени t она находится в т.М, а в момент времени  в т. N. Радиус-векторы точек М и N соответственно равны  , а длина дуги МN равна  (рис. 1.3).Вектором средней скорости  точки в интервале времени от t до t+Δt называют отношение приращения  радиуса-вектора точки за этот промежуток времени к его величине  :
Вектор средней скорости направлен также, как вектор перемещения т.е. вдоль хорды МN.Мгновенная скорость или скорость в данный момент времени. Если в выражении (1.5) перейти к пределу, устремляя к нулю, то мы получим выражение для вектора скорости м.т. в момент времени t прохождения ее через т.М траектории.
В процессе уменьшения величины точка N приближается к т.М, и хорда МN, поворачиваясь вокруг т.М, в пределе совпадает по направлению с касательной к траектории в точке М. Поэтому вектор  и скорость v движущейся точки направлены по касательной траектории в сторону движения. Вектор скорости v материальной точки можно разложить на три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат.
где  - проекции вектора скорости на оси координат х, у, z.Подставляя в (1.6) значения для радиус-вектора материальной точки (1.1) и выполнив почленное дифференцирование, получим:
Из сопоставления выражений (1.7) и (1.8) следует, что проекции скорости материальной точки на оси прямоугольной декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки:
Поэтому численное значение скорости:
В системе «СИ» единица измерения скорости называется метр в секунду  .Движение, при котором направление скорости материальной точки не изменяется, называется прямолинейным. Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения неизменным, то такое движение называется равномерным. Если же за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее мгновенной скорости с течением времени изменяется. Такое движение называют неравномерным. В этом случае часто пользуются скалярной величиной  , называемой средней путевой скоростью неравномерного движения на данном участке траектории. Она равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути затрачивается то же время , что и при заданном неравномерном движении:
т.к.  только в случае прямолинейного движения с неизменной по направлению скоростью, то в общем случае:  .Закон сложения скоростей. Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещения в соответствии с законом независимости движения, равно векторной (геометрической) сумме элементарных перемещений, обусловленных каждым из этих движений в отдельности: В соответствии с определением (1.6):
Таким образом, скорость  результирующего движения равна геометрической сумме скоростей всех движений, в которых участвует материальная точка, (это положение носит название закона сложения скоростей).1.6. Ускорение Ускорение характеризует быстроту изменения скорости, т.е. изменение величины скорости за единицу времени. Вектор среднего ускорения. Отношение приращения скорости  к промежутку времени , в течение которого произошло это приращение, выражает среднее ускорение: Вектор, среднего ускорения совпадает по направлению с вектором . Ускорение, или мгновенное ускорение равно пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю:
В проекциях на соответствующие координаты оси:  или
В системе «СИ» единица измерения ускорения называется метр в секунду за секунду  .1.7. Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения При прямолинейном движении векторы скорости и ускорения совпадают с направлением траектории. Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории. Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Допустим, что в т.М траектории скорость была , а в т.М1 стала  . При этом считаем, что промежуток времени при переходе точки на пути из М в М1 настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь. Для того, чтобы найти вектор изменения скорости , необходимо определить векторную разность:  Для этого перенесем параллельно самому себе, совмещая его начало с точкой М. Разность двух векторов равна вектору, соединяющему их концы равна стороне АС  МАС, построенного на векторах скоростей, как на сторонах. Разложим вектор на две составляющих АВ и АД, и обе соответственно через  и  . Таким образом, вектор изменения скорости равен векторной сумме двух векторов: По определению:
Тангенциальное ускорение  характеризует быстроту изменения скорости движения по численному значению и направлено по касательной к траектории.Следовательно
Нормальное ускорение  характеризует быстроту изменения скорости по направлению.Вычислим вектор:  Для этого проведем перпендикуляр через точки М и М1 к касательным к траектории (рис. 1.4) Точку пересечения обозначим через О. При достаточно малом участок криволинейной траектории можно считать частью окружности радиуса R, называемого радиусом кривизны траектории в окрестностях данной точки. Треугольники МОМ1 и МВС подобны, потому, что являются равнобедренными треугольниками с одинаковыми углами при вершинах. Поэтому:  или  Но  ,тогда:  Переходя к пределу при  и учитывая, что при этом  , находим: ,
Так как при угол  , направление этого ускорения совпадает с направлением нормали к скорости , т.е. вектор ускорения перпендикулярен . В случае движения тела по окружности ускорение называют центростремительным.Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального нормального ускорений (1.15). Так как векторы этих ускорений взаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения равен:
Направление полного ускорения определяется углом между векторам и : 1.8. Методические указания к решению задач по кинематике Анализируя полученные формулы, в кинематике можно выделить четыре основных типа задач: 1. Общая прямая задача кинематики: По известной зависимости радиуса-вектора от времени  необходимо определить, векторы скорости и ускорения  и их модули v и а, нормальную и тангенциальную составляющую ускорения, радиус кривизны траектории R.2. Общая обратная задача кинематики: По известным векторам скорости или ускорения необходимо восстановить вид траектории, т.е. найти радиус-вектор , а затем все остальные параметры траектории, указанные в пункте 1.3. Частная прямая задача кинематики: По известной зависимости пути от времени  необходимо найти скорость  и ускорение  тела. В этом случае можно определить лишь модуль скорости и ускорения: и  .Векторы , , , а также и в этих задачах не могут быть определены.4. Частная обратная задача кинематики: По известным зависимостям скорости или ускорения необходимо восстановить зависимость пути от времени : |
Добавить в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Щербаков А. Е. Методические указания по решению задач по курсу «Гидравлика», очной и заочной форм обучения специальности 270109 «Теплогазоснабжение... |  | Методические указания по использованию математических знаний в процессе решения физических задач |
| Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета | | Методика решения задач по кинематике: учебное пособие / С. И. Кузнецов; Национальный исследовательский Томский политехнический университет.... |
 | Методические указания предназначены для учащихся 8-11 классов участников заочного тура | | Методические указания предназначены для студентов четвертого семестра, изучающих основы классической феноменологической термодинамики... |
| Методические указания предназначены для более глубокого изучения и освоения теоретического материала по тематике курса, овладения... | | Методические указания предназначены для более глубокого изучения и освоения теоретического материала по тематике курса, овладения... |
| Методические указания предназначены для оказания помощи студентам при изучении методов расчета систем оборотного водоснабжения и... | | В методических указаниях приведены контрольные вопросы к изучению отдельных тем курса, контрольные задания и методические указания... |
Разместите кнопку на своём сайте: