Лекция 2 (Зт 2011-2012) динамика поступательного и вращательного движения

ЛЕКЦИЯ 2 (Зт 2011-2012) ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ План 1.2 Масса. Сила. Силы в механике. Законы Ньютона для поступательного движения. 2.2 Импульс. Второй закон Ньютона. Закон сохранения импульса. 3.2 Момент инерции тела. Теорема Штейнера. 4.2 Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. 5.2 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. 1.2 Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Если на тело действуют не скомпенсированные силы, то инертность сказывается в том, что изменение состояния покоя или движения тела происходит постепенно, а не мгновенно. Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, то есть приобретают различные ускорения. При этом движение изменяется тем медленнее, чем больше инертность тела. Таким образом, ускорение тела зависит не только от величины воздействия, но и от свойств тела. Масса тела – скалярная физическая величина, определяющая его инертные (при поступательном движении) и гравитационные свойства. Основная единица измерения массы в СИ – кг. , (1.2) где ρ – плотность вещества – масса единицы объема. Сила – векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или деформируется. В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением (модулем), направлением в пространстве и точкой приложения. Основная единица измерения силы в СИ – Н. Таблица 2. Силы, используемые в механике. № Сила Формула для вычисления Направление и точка приложения 1 гравитационного притяжения Закон всемирного тяготения вдоль линии, соединяющей центры притягивающихся тел 2 тяжести вертикально вниз 3 вес вертикально вниз, приложена к опоре или подвесу 4 реакции опоры , рассчитывается для конкретных случаев перпендикулярно опоре 5 выталкивающая Закон Архимеда вертикально вверх 6 упругости Закон Гука против направления деформации 7 трения скольжения против направления движения по касательной к трущимся поверхностям 8 вязкого трения Закон Ньютона ; формула Стокса - частный случай против направления движения по касательной к поверхности слоев 9 поверхностного натяжения между молекулами поверхностного слоя жидкости Первый закон Ньютона: существуют системы отсчета, относительно которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока взаимодействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Второй закон Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально вызывающей его силе и обратно пропорционально массе тела. . (2.2) Третий закон Ньютона: тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению. 2.2 Перепишем второй закон Ньютона в виде: . Ускорение тела есть первая производная скорости по времени, тогда: . Импульс тела (количество движения) - векторная физическая величина, модуль которой численно равен произведению массы тела на его скорость. . (3.2) Основной единицей импульса тела в СИ является . Используя понятие импульса тела второй закон Ньютона можно переписать в виде: - сила, действующая на тело, равна скорости изменения импульса тела. Отсюда можно получить или (4.2) Совокупность тел, рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между телами механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на тела системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (изолированной). Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух тел массами и , движущимися со скоростями и соответственно. Эти тела действуют друг на друга с силами и. Пусть и - равнодействующие внешних сил, действующих на эти тела. Запишем второй закон Ньютона для этих тел: . Сложим почленно эти уравнения и получим: . По третьему закону Ньютона силы и равны по величине и противоположны по направлению, значит, их сумма равна нулю. - есть импульс системы. Тогда - производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему. Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел остается неизменным при любых движениях и взаимодействиях тел системы. 3.2 При вращательном движении инерция тела зависит не только от массы, но и от распределения ее в пространстве относительно оси вращения. Чем дальше от оси вращения распределена масса тела, тем больше ее инерция. Момент инерции тела относительно оси - мера инертности тела при вращательном движении. Момент инерции материальной точки – скалярная физическая величина, численно равная произведению массы точки на квадрат расстояния: . (5.2) где - масса материальной точки, - расстояние от оси вращения до материальной точки. Основной единицей измерение момента импульса в СИ является - . Для вычисления момента инерции какого – либо тела его разделяют на множество достаточно малых по массе элементов, каждый из которых может быть представлен как материальная точка. Для каждого элемента вычисляют момент инерции и затем находят их сумму. или для сплошного тела в пределе . (6.2) В качестве примера выведем формулу момента инерции тонкого однородного стержня длиной l и массой m относительно оси, проходящей через его центр масс. Выберем достаточно малый участок стержня длиной dx и массой dm, удаленный от оси на расстояние x. Рисунок 1.2 Тонкий однородный стержень, вращающийся относительно оси, проходящей через центр масс. Ввиду малости этого участка он может быть принят за материальную точку, и его момент инерции равен . Масса элементарного участка равна отношению массы стержня к его длине , умноженного на длину элементарного участка . Чтобы найти момент инерции всего стержня, проинтегрируем момент инерции малого участка по всему стержню (в пределах от до ): . Приведем выражения моментов инерции разных симметричных тел. Таблица 3. Моменты инерции тел правильной геометрической формы. Тело Момент инерции Тело Момент инерции Тонкий стержень Диск (цилиндр) Тонкостенное кольцо (обруч) Шар Момент инерции тел, имеющих сложное несимметричное строение, определяют экспериментально. При решении задач для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, используют теорему Штейнера: момент инерции тела I относительно некоторой оси равен моменту инерции тела I0 относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями d. (7.2) Рисунок 2.2 Оси вращения твердого тела: ОО проходит через центр масс тела, не проходит через центр масс тела. 4.2 Плечо силы – перпендикуляр, опущенный из центра вращения на направление действия силы. Момент силы относительно точки - векторная физическая величина, модуль которой численно равен произведению силы на плечо силы: (8.2) Основной единицей измерения момента силы в СИ является – . Направление этого вектора определяется по правилу буравчика. Момент силы не меняется при перемещении силы вдоль линии ее действия. Рассмотрим материальную точку массой , движущуюся по окружности радиусом . Пусть на нее действует постоянная сила, направленная по касательной к окружности. Рисунок 3.2 Материальная точка, движущаяся по окружности под действием силы, направленной по касательной к окружности. Тогда, по второму закону Ньютона, Эта сила вызывает тангенциальное ускорение или . Используя соотношение связи тангенциального ускорения с угловым ускорением , получим . Умножим обе части полученного равенства на : . Левая часть последнего уравнения является моментом силы: . В правой части последнего уравнения присутствует момент инерции материальной точки: . Таким образом, или (9.2) Таким образом мы получили основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки: угловое ускорение материальной точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции. 5.2 Перепишем второй закон Ньютона для вращательного движения в виде или . Из математики известно, что постоянную величину можно вносить под знак производной. Получим . Момент импульса - псевдовектор, модуль которого равен произведению момента инерции тела на угловую скорость: (9.2) Направление этого вектора определяется по правилу буравчика. Основной единицей измерения момента импульса в СИ является . Связь угловых и линейных величин: . - производная момента импульса тела по времени равна равнодействующему моменту всех внешних сил. Если на вращающееся тело не действуют внешние силы или их результирующий момент равен нулю, то . Из математики известно, что нулю равна производная только постоянного числа, то есть L – const. Закон сохранения момента импульса: если на вращающееся тело не действуют внешние силы или их результирующий момент равен нулю, то момент импульса относительно оси вращения есть величина постоянная. или (13.2) Если в этих условиях изменяется момент инерции тела, то соответственно изменяется и его угловая скорость. Применение закона сохранения момента импульса проявляется при падении кошек. Как показала скоростная киносъемка, падающая кошка сразу начинает быстро вертеть хвостом. При этом тело ее разворачивается в обратную сторону (с меньшей скоростью, так как масса тела значительно больше массы хвоста) до тех пор, пока тело кошки не станет в такое положение, при котором она приземляется на лапы.

Похожие:

	Лекция 2 (Зт) динамика поступательного и вращательного движения Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью		Лекция Динамика поступательного движения материальной точки Динамика изучает движение тел в связи с теми причинами, которые обусловливают тот тли иной характер изменения их движения. Динамика...
	Диктант по лекции 2 Динамика поступательного и вращательного движения Сформулируйте первый закон Ньютона, приведите примеры инерциальных систем отсчета		Лекция 2 (ппжп) динамика вращательного движения Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью
	“Динамика вращательного движения” Цель лекции: изучить основные положения динамики вращательного движения. Дать определения момента инерции, момента импульса, кинетической...		Лекция Динамика вращательного движения абсолютно Моментом силы относительно точки о называется векторная величина, определяемая выражением
	Диктант к лекции 2 динамика поступательного и вращательного Дайте определение момента инерции тела относительно оси, укажите единицы измерения		Список лабораторных работ в аудитории №1304 Изучение поступательного и вращательного движения с помощью маятника Обербека, 2003
	Лекция 1 (Зт 2012-2013) введение. Основы кинематики Поступательное движение. Характеристики поступательного движения. Скорость и ускорение как производные		Программа дисциплины физика Механика. Кинематика материальной точки. Скорость, ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения. Кинематический закон движения...