Методические указания по практическим работам
Скачать 431.3 Kb.
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет Институт экономики и управления Кафедра Экономическая кибернетика Методические указания по практическим работам По дисциплине МЕТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ Для специальности 080103.65 «Национальная экономика» Методические указания разработаны в соответствии с составом УМКД Методические указания разработала Порошина Л.А. _____________ Методические указания утверждены на заседании кафедры, протокол № ______ от «___» _______________ 200__ г. Зав. кафедрой _________ «___» ______________ 200__ г. Пазюк К.Т. Методические указания по практическим занятиям по дисциплине «Математические методы исследования экономики» включают тематику вопросов, выносимых для самостоятельной подготовки, задачи, которые решаются студентами под контролем преподавателя или самостоятельно во время аудиторных занятий. Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании УМКС и рекомендованы к изданию протокол № ______ от «___» _______________ 200__ г. Председатель УМКС _______ «___» __________ 200__ г. Директор института _________ «___» ____________ 200__ г. Зубарев А.Е. Введение По мере развития общества большое внимание уделяется совершенствованию экономических отношений под углом зрения оптимального использования производительных сил, всех материальных и трудовых ресурсов, исследованию теоретических основ оптимальности экономических процессов и условий их осуществления. Поэтому не случайно, что экономисты и математики, занимающиеся вопросами применения математики в экономике, большое внимание уделяют разработке математических методов построения оптимальных планов, обеспечивающих выпуск необходимой продукции при минимальных затратах труда, изучению закономерностей наиболее рационального распределения и использования ресурсов производства. Изучение закономерностей наиболее рационального распределения и использования ресурсов производства, выяснение условий и свойств оптимальности различных производственно-экономических процессов потребовало точного количественного выражения затрат и результатов производства, поставило вопрос конкретизации представлений о закономерностях общественного производства, о более точном выражении его важнейших экономических категорий. Экономико-математическое моделирование, является одним из эффективных методов описания сложных социально-экономических объектов и процессов, позволяющих овладеть искусством принятия управленческих и инвестиционно-финансовых решений, распределения и оптимизации ресурсов, анализа и обработки данных и прогнозирования последствий. В связи с этим следует выделить класс оптимизационных моделей, связанных с выбором наилучшего варианта из множества возможных вариантов производства, распределения, потребления и т.д. Определение оптимального варианта текущего и перспективного развития связано с решением задач оптимизации, имеющих большую размерность и множество разнообразных условий и ограничений. Задача курса «Математические методы исследования экономики» состоит в том, чтобы научить студентов, обучающихся по специальности 060700 «Национальная экономика» проводить исследование экономико-математических моделей на основе применения аппарата математических методов. Знания в области математических методов в экономике будут полезны при прогнозировании и выполнении многовариантных аналитических расчетов в области экономической и управленческой деятельности. Тема 1. Линейное, дробно-линейное и целочисленное программирование Задание. Построение моделей. Анализ на чувствительность. Рассмотрение модификаций транспортных задач. Исполнение. Решение задач линейного программирования с дополнительными условиями. Интерпретация результатов решения. Обоснование устойчивости решения. Оценка. Формируют необходимые представления о применимости того или иного математического инструментария к заданному классу. Время выполнения заданий: 11 часов. Примеры решаемых задач. Пример №1. Решить задачу линейного программирования (ЗЛП) графическим способом.  Требуется найти max L = x1 + 4x2, при ограничениях  Решение. Запишем уравнения граничных прямых и построим их на плоскости x1ox2  EMBED CorelDRAW.Graphic.11  Рис. 1. Решение ЗЛП геометрическим способом Выделив область решения каждого неравенства системы ограничений, получим многоугольник допустимых решений ЗЛП. На рис. 1 видно, что областью допустимых решений является многоугольник ONAC. Построим основную прямую L = 0, то есть x1 + 4x2 = 0, проходящую через начало координат O (0,0) перпендикулярно вектору  . Перемещая прямую L = 0 в направлении вектора , находим максимальную точку A, в которой пересекаются прямые L2 и L3, и координаты которой равны: x1 = 3, x2 = 1. Минимальной точкой является точка начала координат. Итак, Omin (0,0), Amax (3;1). Тогда Lmin = 0, Lmax = 7. Пример №2. L = x1 + 4x2 →max  Данная ЗЛП приведена к единичному базису, поэтому можно составить симплексную таблицу 1. Таблица 1
Исходная симплексная табл. 1 определяет первое допустимое решение  , L1 = 0. Это решение не является оптимальным, так как в строке L имеются отрицательные оценки. Улучшим данное решение, используя алгоритм симплексного метода. Столбец с отрицательной оценкой выберем в качестве разрешающего столбца. Так как в строке L имеется две отрицательные оценки, выберем наибольшую оценку по абсолютной величине. Разрешающим элементом выбираем наименьшее отношение между свободными членами и соответствующими положительными элементами разрешающего столбца. В результате разрешающим элементом будет число 1 в третьей строке симплексной таблицы при переменной x2. Далее, используя алгоритм симплекс-метода, получим новую симплексную таблицу 2. Таблица 2
Эта симплексная табл. 2 определяет второе допустимое решение.  В строке L имеется отрицательная оценка при переменной x1, следовательно, данное решение не является оптимальным. Улучшим это решение, избавившись от отрицательной оценки. Столбец с отрицательной оценкой выбираем в качестве разрешающего, а разрешающим элементом выбираем наименьшее отношение между свободными членами и соответствующими положительными элементами разрешающего столбца. В результате разрешающим элементом будет число 1 во второй строке симплексной таблицы при переменной x1. Далее, используя алгоритм симплекс – метода, получим новую симплексную табл. 3, которая определяет третье допустимое решение: Таблица 3
Выясним, является ли это решение оптимальным. Так как в строке линейной формы нет ни одной отрицательной оценки, то третье допустимое решение является минимальным.  Пример №3. Найти решение пары двойственных задач. Исходная задача: Двойственная задача: L = 4x1 + 6x2 → max    Решив исходную задачу табличным симплексным методом и учитывая соответствие между базисными и свободными переменными, получим оптимальное решение исходной и двойственной задач:
Решение исходной задачи:  .Решение двойственной задачи:  . Пример №4. Решить транспортную задачу методом потенциалов. Таблица 4 задает исходное допустимое решение. Начальный опорный план строится методом северо-западного угла. Перейдем к построению новых допустимых решений, улучшающих друг друга методом потенциалов. Таблица 4
Определим платежи  и  , решив систему уравнений. Значение одного из неизвестных зададим произвольно, например,  , тогда  ,  ,  ,  . Зная платежи и , найдем псевдостоимости  для свободных клеток Согласно теореме об оптимальности решения  и, следовательно, исходное решение не является оптимальным, и его можно улучшить путем переноса перевозки x23 = 20 по циклу, построенному для клетки (1,3). В результате получили новое допустимое решение, соответствующее табл. 5. Проверим это решение на оптимальность. Если , то , ,  , . Тогда   Согласно теореме об оптимальности для всех свободных клеток  и  , и, следовательно, решение в табл. 5 является оптимальным.Таблица 5
 Пример №5. Дано m = 5 видов работ и соответственное количество оборудования с их производительностью (табл.6). Построить матрицу назначения Х =  (табл. 7).Решение проведём венгерским методом. 1  . Логика выбора пар «оборудование - работа» строится на поиске пар с наибольшей производительностью. Поэтому для каждого оборудования (строки) выбираем работу с (в табл. 6 она взята в кружок) и к ней приводим все остальные характеристики работ, характеризующие данное оборудование. Получим приведенные оценки aij , определяемые по формулеa'ij = max aij - aij . (4) j Таблица 6 Таблица 7 Производительность (работы) Матрица назначения
Приведенные оценки по оборудованию по строкам представим в табл. 8. Таблица 8 Таблица 9  1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Наилучшая работа для i-го оборудования будет иметь нулевую характеристику: a'ij = 0, все остальные работы будут хуже выбранной на величину a'ij > 0. Так как матрица назначений Х должна строиться на основе лучших (a'ij = 0) значений и они по условию должны быть в каждой строке и столбце, то на следующем шаге проверяется наличие нулевых (наилучших) значений и в столбцах. 2. В табл. 8 первая работа (столбец 1) не имеет нулевых характеристик. В первом столбце табл. 8 выбираем наилучшую характеристику, ближе всего расположенную к a'ij = 0, т.е. min a'ij = 3 (выделим ее кружком) и отнимем ее от i всех остальных элементов столбца 1:  (5)i П  риведенный столбец (1) вместе с другими столбцами (2-5) табл.1.3, уже имеющими нулевые характеристики, составляют приведенную матрицу (табл. 10.4) 3. Построение матрицы назначения осуществляется на базе нулевых характеристик приведенной матрицы (табл. 8). Выбор «лучшего» нулевого значения из множества нулей, находящихся в приведенной матрице, производится по коэффициенту Кij = min aij + min aij , (6) i j где  - наименьшая приведенная характеристика в столбце, где находится анализируемый «0»,  - наименьшая приведенная характеристика в строке, где находится анализируемый «0». Итак, для каждого  = 0 определяем Kij (см. табл. 9)К1,1 = 0 + 0; К1,4 = 0 + 0; К2,3 = 0 + 0; К1,1 = min {3,3,1,6} + min {10,9,8,9}= 1 + 8 = 9; j i К2,1 = 0 + 0; К4,3 = 0 + 5 = 5; К5,2 = 0 + 3 = 3; К5,4 = 0 + 0. Выбирается a"ij = 0 c max Kij, что говорит о наибольшем удалении пары (i,j) от остальных видов оборудования и работ. Для нашего случая это будет пара (3,5), имеющая max Kij = 9. Паре (3,5) присваивается коэффициент назначения хij = 1 и заносится в матрицу назначения (табл.7), исходная матрица назначения Х имеет нулевые значения, т.е. хij = 0. Выделенная пара (3,5) вычеркивается из дальнейшего рассмотрения, т.е. в табл. 9 вычеркивается строка 3 и столбец 5. Проверяется, является ли вновь полученная матрица (табл.10) приведенной, т.е. такой, у которой в каждой строке и столбце было бы не меньше одной нулевой характеристики (  ). Если такие строки и столбцы имеются, они приводятся к наименьшему значению. Повторяется пункт 3. Таблица 10 Таблица 11   1 2 3 4 1 2 4
Матрица (табл.10) является приведенной: К1,1 = 0, К1,4 = 0, К2,1 = 0, К2,3 = 0; К4,3 = 5 ; К3,2 = 4, К5,4 = 0. Выбираем пару (4,3) с max К4,3 = 5, присваиваем ей Х4,3 = 1 (вводим в табл. 7), вычеркиваем в табл.10 строку (4) и столбец (3). Получим матрицу (табл. 11) Повторяем пункт 3. Матрица (табл. 11) является приведенной: К2,1 = 4 К5,2 = 4 К1,1 = 0; К1,4 = 0; ; ; К5,4 = 0; max Кi,j = 4 В данном случае имеется два альтернативных варианта выбора К2,1 = 4, К5,2=4. Выбираем любой из них (см. схему выбора рис.2, где выбранные варианты выделены утолщенной стрелкой). Пусть это будет К5,2 = 1. Присваиваем Х2,3 = 1, вводим его в табл. 7.
3,5  ШАГ 1 4,3 5,2 1,4   ШАГ 2  2,1    ШАГ 3  ШАГ 4 Выбранный вариант 2,1 Рис. 2 Схема выбора Вычеркиваем в табл. 11 строку (5) столбец (2). Оставшаяся матрица (табл. 12) является приведенной: К1,1 = 0; К1,4 = 10; К2,1 = 10. На последнем шаге (когда имеем матрицу 2  2) выбираются две пары. Это будут К1,4 = 10 и К2,1 = 10. Им присваивается коэффициент Х1,4 = 1 и Х 2,1 = 1 и заносится в матрицу назначения (табл. 7).Задача решена. Целевая функция F, характеризующая суммарную производительность закрепленного за работами оборудования (1,1), определяется следующим образом: F1 = х1,4 a1,4 – х2,1 a2,1 + х3,5 a3,5 + х4,3 a4,3 + х5,2 a5,2 = 30 + 25 + 26 + 27 + 29 = 137. Задачи для самостоятельного решения: А) Решить следующие задачи линейного программирования графическим методом: -  -    -  -    | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3
3
Добавить в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Методические указания по практическим занятиям по дисциплине «Многомерные статистические методы» включают тематику вопросов, выносимых... | | Методические указания по практическим занятиям по дисциплине «Организация и планирование производства» включают тематику вопросов,... |
| Методические указания к практическим работам по дисциплине Художественно-графическая композиция для студентов специальности 260902... |  | Методические материалы и указания к практическим работам для студентов очной и заочной формы обучения |
| Оценивание погрешностей измерений электрических величин. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Метрология,... | | «Строительный генеральный план», дисциплина «Организация строительного производства» для специальности 2-70 02 01 «Промышленное и... |
| Лабораторная работа №1. Графический ввод схемы устройства и функциональная симуляция с использованием сапр max+plus II | | Практические занятия будут касаться разработки отдельных разделов курсового и дипломного проектов |
| Генерирование и формирование радиосигналов: Методические указания к лабораторным работам/ Л. И. Булатов, Б. В. Гусев. Екатеринбург:... | | Методические указания к лабораторным работам по дисциплине ртциС предназначены для бакалавров направления 210400 «Радиотехника» они... |
Разместите кнопку на своём сайте: