Программа государственного экзамена по математике специальность 080116. 65 «Математические методы в экономике»

Утверждена на заседании

Протокол № __ от _________ 2012 г.

ПРОГРАММА

1. 
   Необходимые и достаточные условия экстремума дважды непрерывно дифференцируемой функции. Случай функций одной и двух переменных
   
2. 
   Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
   
3. 
   Системы линейных уравнений
   
4. 
   Собственные числа и собственные векторы
   
5. 
   Законы распределения вероятностей, наиболее распространенные в практике статистических исследований
   
6. 
   Статистическая проверка гипотез
   
7. 
   Симплекс-метод решения задач линейного программирования
   
8. 
   Классическая транспортная задача. Метод потенциалов
   
9. 
   Оптимизация инвестиционного процесса методом динамического программирования
   
10. 
    Модели и методы сетевого планирования и управления
    
11. 
    Модель межотраслевого баланса Леонтьева
    
12. 
    Модели экономического равновесия
    
13. 
    Производственные функции в микроэкономическом анализе
    
14. 
    Моделирование уровня жизни
    
15. 
    Наращение и дисконтирование с использованием простых процентных ставок.
    
16. 
    Наращение и дисконтирование с использованием сложных процентов.
    
17. 
    Учет инфляции в финансовых расчетах
    
18. 
    Антагонистические игры, методы решения матричных игр
    
19. 
    Задачи принятия решений в условиях полной неопределенности
    
20. 
    Способы снижения экономических рисков
    
21. 
    Теория полезности по Нейману-Моргенштерну
    
22. 
    Оценивание параметров линейной модели множественной регрессии
    
23. 
    Нелинейные модели регрессии и линеаризация
    
24. 
    Модели временных рядов
    
25. 
    Системы линейных одновременных уравнений и их идентификация
    

1. 
   Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой , а функция затрат на производство товара – формулой . Определить оптимальный уровень производства и прибыль, которая при этом достигается.
   

2. 
   Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой , а функция затрат на производство товара – формулой . Определить оптимальный уровень налога с единицы реализованного товара и прибыль предприятия, которая при этом достигается.
   

3. 
   Имеется две фирмы в отрасли. Функции издержек для фирм имеют вид: и . Задана функция спроса на рынке: . Определить равновесную цену, выпуск для отрасли в целом и выпуск для каждой фирмы.
   

4. 
   Функции спроса и предложения имеют вид , , где q – количество покупаемого товара, s – количество предлагаемого на продажу товара, p > 0 – цена товара. Определить равновесную цену, эластичность спроса и предложения по этой цене, изменение дохода при увеличении цены на 3%.
   

5. 
   Функция полезности для двух товаров имеет вид . Бюджетное ограничение I и цены на первый товар р₁ и второй товар р₂ связаны соотношением . Найти функции спроса на товары и оптимальный набор товаров для рационального потребителя, если , , .
   

6. 
   Производственная функция, характеризующая выпуск продукции предприятием за год, имеет вид , где х – количество затраченного за год труда (человеко-часов), y – затраты на каптал. Средняя стоимость единицы труда составляет 10 руб., средняя стоимость единицы каптала (рубля) – 20% годовых. Рыночная цена выпускаемой продукции – 10 руб. Издержки производства не должны превышать 200 тыс. руб. Определить оптимальный состав ресурсов, годовой выпуск продукции и прибыль.
   

7. 
   Фирмы выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входят 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 300 ден.ед., а улучшенный – 400 ден.ед. Какие и сколько удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать затраты?
   

8. 
   Имеются два вида сырья S₁ и S₂, оставшиеся на предприятии к концу года в количестве 35 и 20 единиц соответственно. Из этого сырья можно произвести три вида товаров Т₁, Т₂ и Т₃, получив прибыль от реализации единицы каждого вида товара соответственно 7, 6 и 18 ден.ед. Нормы затрат сырья S₁ на производство товаров Т₁, Т₂ и Т₃ соответственно равны 1, 1 и 5 ед., а сырья S₂ соответственно 2, 1 и 2 ед. С другой стороны, это сырье можно продать. Каким условиям должны удовлетворять цены продажи сырья, так чтобы выручка от продажи сырья была не меньше, чем прибыль от реализации готового изделия?
   

9. 
   На двух складах А и В находится по 90 т горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А в пункты 1, 2 и 3 соответственно стоит 3, 1 и 5 тыс. руб., а перевозка одной тонны со склада В в те же пункты – соответственно 2, 5 и 4 тыс. руб. В каждый пункт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего. Составить опорный план перевозок методом минимальной стоимости и проверить его на оптимальность.
   

10. 
    На рынке ценных бумаг имеется два типа акций, А1 и А2, прибыльность которых зависит от некоторых трудно прогнозируемых событий S1 и S2. Акция А1 дает 8% прибыли при событии S1 и 2% прибыли при событии S2; акция А2, соответственно, – либо минус 4%, либо плюс 14%. В каком соотношении необходимо приобрести акции, чтобы гарантированная средняя прибыль была максимальной? (рассмотреть антагонистическую игру 2х2)
    

11. 
    Интенсивность равномерного спроса составляет 1000 единиц товара в год. Организационные издержки равны 10 ден.ед., издержки на хранение – 4 ден.ед. Цена единицы товара равна 5 ден.ед., однако, если размер партии не менее 500 единиц, цена снижается до 4 ден.ед. Найти оптимальный размер партии.
    

12. 
    В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов составляет 0,4 судов в сутки. Интенсивность разгрузки судов – 0,5 судов в сутки. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Определить среднее число судов, ожидающих очереди, среднее время пребывания в очереди и вероятность того, что ожидают разгрузки не более двух судов.
    

13. 
    Администрация компании (ЛПР) решает вопрос об инвестировании. Можно инвестировать средства в проект А, проект Б, или в действующий торговый комплекс. С вероятностями 0,6 и 0,4 инвестиции в проект А могут принести выигрыши 250000 или –170000 соответственно; с вероятностями 0,7 и 0,3 инвестиции в проект Б могут принести выигрыши 140000 или –30000 соответственно. Инвестирование торгового комплекса (проект В) принесет гарантированную прибыль в размере 25000. Определить решение ЛПР и меру рисков проектов.
    

14. 
    Если автомобиль оборудован противоугонной системой, то вероятность его угона составляет 0,05, в случае, если такой системы нет, то вероятность угона составляет 0,5. Стоимость противоугонной системы 3000 руб., стоимость автомобиля 600000 руб. Определите на какую сумму страховой компании выгодно страховать данный автомобиль (страховая компания будет работать с данным проектом, если ожидаемый ущерб от угона автомобиля с сигнализацией будет выше ущерба от угона автомобиля без сигнализации).
    

15. 
    Фирма планирует выпуск на рынок нового вида товара. Субъективные представления руководства фирмы таковы: вероятность хорошего спроса на этот товар составляет 0,7, вероятность плохого спроса – 0,3. Было проведено специальное исследование товарного рынка, которое предсказало плохой сбыт. Известно, что исследования такого рода дают правильный прогноз с вероятностью 0,8. Как изменилась вероятность хорошего спроса на товар после маркетингового исследования?
    

16. 
    Некоторая фирма владеет тремя магазинами, расположенными недалеко друг от друга. Собрана информация о количестве покупателей, сделавших покупки в течение недели: в первом магазине – 160 человек; во втором – 225, в третьем – 215. С помощью критерия хи-квадрат проверить, можно ли на уровне значимости 0,01 объяснить разницу в посещаемости магазинов случайными колебаниями?
    

17. 
    По 30 территориям РФ получено уравнение линейной множественной регрессии , где у – среднедневной душевой доход, ден.ед; х₁ – среднедневная заработная плата одного работника, ден.ед.; х₂ – средний возраст безработного, лет. Кроме того известно: , , , , . Найти стандартизированное уравнение регрессии и определить какой фактор сильнее влияет на результат, найти коэффициент множественной корреляции, коэффициент множественной детерминации и проверить статистическую значимость уравнения регрессии с помощью критерия Фишера (F_табл=3,4 при =0,05).
    

18. 
    Провести идентификацию эконометрической модели в виде системы одновременных уравнений , где у – ВНД, у_-1 – ВНД предшествующего года, С – личное потребление, D – конечный спрос (помимо личного потребления)
    

19. 
    На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние четыре года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за февраль-декабрь равны соответственно: 2; -0,5; 0,3; -2; -1,1; 3; 1; 2,5; 1; -3; -2,2. Уравнение тренда имеет вид: . Сделать прогноз общего числа браков, заключенных в течение первого квартала следующего года.
    

20. 
    Logit-модель была применена к выборке, в которой , если количество занятых в фирме выросло ( – в противном случае), х₁ – доход фирмы в млн. ден.ед.; , если фирма относится к области высоких технологий ( – в противном случае). Получена следующая модель: . Требуется определить оценку вероятности роста занятости для высокотехнологичной фирмы А с доходом 5 млн. ден.ед. и для фирмы Б, не относящейся к сфере высоких технологий и имеющей доход 7 млн. ден.ед.
    

21. 
    За какое время капитал величиной 45000 руб., вложенный под 4% годовых (k, 360), увеличится на такую же величину, как и капитал 60000 руб., вложенный с 10.03 по 22.05 под 5,75% (k, 365)?
    

22. 
    Клиент обратился в банк 16 марта для получения ломбардного кредита и предоставил в залог 150 ед. ценных бумаг. Величина займа рассчитывается исходя из 80% их курсовой стоимости. Процентная ставка составляет 9%, а затраты банка по обслуживанию долга – 200 руб. На какой кредит может рассчитывать клиент банка, если курс его ценных бумаг составляет 300 руб.?
    

23. 
    Месячный темп инфляции составляет , , . На сумму 100000 руб. в течение трех месяцев начислялась простая процентная ставка 20% годовых. Определить реальную стоимость суммы 100000 рублей и найти брутто-ставку.
    

24. 
    Первоначальная сумма денег 1000 руб. вложена в банк на 5 лет под 6% годовых. Рассчитать доход от вложения данной суммы денег при декурсивном и антисипативном расчете сложных процентов.
    

25. 
    Сумму долга в 300000 руб. необходимо погасить в течение четырех лет равными срочными уплатами. Срочные уплаты производятся в конце каждого года. Проценты на долг начисляются по ставке 12% годовых. Составить план погашения долга.
    

1. 
   Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с.
   
2. 
   Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2000. - 436 с.
   
3. 
   Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. – М.: Финансы и статистика, 2000. - 176 с.
   
4. 
   Елисеева И.И. Теория статистики с основами теории вероятностей. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 446 с.
   
5. 
   Елисеева И.И. Эконометрика. – М.: Финансы и статистика, 2005 - 576 с.
   
6. 
   Ермаков В.И. Справочник по математике для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2007. - 464 с.
   
7. 
   Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Дело и сервис, 2001. - 368 с.
   
8. 
   Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. – М.: ПРИОР, 1999. - 144 с.
   
9. 
   Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 295 с.
   
10. 
    Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2005. – 464 с.
    
11. 
    Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: ЮНИТИ, 1997. – 439 с.
    
12. 
    Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.
    
13. 
    Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 407 с.
    
14. 
    Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. – М.: ЮНИТИ, 2005 - 311 с.
    
15. 
    Кузнецов Б.Т. Математика. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2004. - 719 с.
    
16. 
    Кузнецов Б.Т. Математические методы финансового анализа. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. - 159 с.
    
17. 
    Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике. – М.: Дашков и К, 2006. - 352 с.
    
18. 
    Кундышева Е.С. Экономико-математическое моделирование. – М.: Дашков и К, 2007. - 424 с.
    
19. 
    Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. – М.: МЗ Пресс, 2006. - 208 с.
    
20. 
    Нуреев Р.М. Курс микроэкономики. – М.: Норма, 2002. – 572 с.
    
21. 
    Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. – М.: Высш. шк., 1998. – 304 с.
    
22. 
    Практикум по эконометрике / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 192 с.
    
23. 
    Сборник задач по микроэкономике / Гл. ред. Р.М. Нуреев. – М.: Норма, 2005. – 432 с.
    
24. 
    Сборник задач по эконометрике / Сост. Е.Ю.Дорохина, Л.Ф.Преснякова, Н.П.Тихомиров. – М.: Экзамен, 2003. – 224 с.
    
25. 
    Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика. – М.: Экзамен, 2003 - 512 с.
    
26. 
    Четыркин Е.М. Финансовая математика. – М.: Дело, 2000. - 400 с.
    
27. 
    Шапкин А.С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. – М.: Дашков и К. - 2003. - 544 с.
    
28. 
    Шапкин А.С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций: Учебник. – М.: Дашков и К, 2004. - 400 с.
    
29. 
    Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. – М.: Дело, 2000. – 431 с.