Программа дисциплины Стохастический анализ и моделирование для направления 080100. 68 «экономика» подготовки магистра Автор: Т. А. Белкина(T)

Министерство экономического развития и торговли

Факультет экономики

1. 
   Пояснительная записка.
   

• 
  знать основные результаты теории вероятностей и некоторые результаты теории случайных процессов, обладать навыками решения задач в этой области;
  
• 
  уметь описывать экономические задачи на «языке» теории вероятностей и случайных процессов;
  
• 
  обладать навыками применения вероятностных моделей в области финансов и страхования.
  

Базовые учебники

1. 
   Ротарь В.И. (1992) Теория вероятностей. ­– М.: Высшая школа. [Ротарь]
   
2. 
   Феллер В. (1984) Введение в теорию вероятностей и ее приложения, тома 1, 2. ­– М.: Наука. [Феллер]
   

1. 
   Айвазян С.А. и Мхитарян В.С. (1998) Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ. [АМ]
   
2. 
   Мельников А.В. (2003) Риск-менеджмент. Стохастический анализ рисков в экономике финансов и страхования. 2-е издание. М.:АНКИЛ. [Мельников]
   
3. 
   Фалин Г.И. (1994) Математический анализ рисков в страховании. М.:Российский юридический издательский дом. [Фалин]
   
4. 
   Оксендаль Б. (2003) Стохастические дифференциальные уравнения Введение в теорию и приложения. М.:Мир. [Оксендаль]
   
5. 
   Ross, S. M. (1983) Stochastic Processes. – Wiley. [Ross]
   

1. 
   Боровков А.А. (1986) Теория вероятностей. – М.: Наука.
   
2. 
   Вентцель А.Д. (1996) Курс теории случайных процессов, 2-е изд.. – М.: Наука.
   

6. 
   Ермаков, С. М. (1975) Метод Монте-Карло и смежные вопросы. – М.: Наука.
   
7. 
   Прохоров, Ю. В. (1956) Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. – Теория вероятностей и ее применения, 1, 2, 177 – 238.
   
8. 
   Прохоров, Ю. В. (ред.) (1999) Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Большая российская энциклопедия.
   
9. 
   А.Н. Ширяев (1984) Вероятность. – М.: Наука.
   
10. 
    А.Н. Ширяев (1998) Основы стохастической финансовой математики, тт. 1, 2. – М.: ФАЗИС.
    
11. 
    Embrechts, P., Kluppelberg, C., and Mikosh, T. (1997) Modelling extremal events for finance and insurance. – Springer.
    
12. 
    Karatzas I. and Shreve S.E. (1988) Brownian Motion and Stochastic Calculus. – Springer.
    

• 
  текущий контроль осуществляется путем проверки домашнего задания и регулярного решения задач на семинарах;
  

• 
  промежуточный контроль осуществляется в форме проверочной контрольной работы;.
  

• 
  итоговый контроль- в форме письменного экзамена в конце семестра.
  

Элементы аксиоматики в дискретном пространстве элементарных исходов (ПЭИ) и некоторые распределения (Бернулли, биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, Пуассона). Теорема Пуассона. Условная вероятность. Случайные величины (с.в.). Совместные распределения. Свертки. Условные распределения. Математическое ожидание (м.о.) с.в. Условное м.о. и функция регрессии. Тождество Вальда. Дисперсия. Моменты и неравенства для уклонений. Закон больших чисел. Предельная теорема Муавра-Лапласа. Производящие функции. Дополнение: безобидные (справедливые) игры. Петербургский парадокс. Функция полезности и неравенство Йенсена.

Примеры применения перечисленных понятий и результатов в области страхования: 1) статическая модель для числа исков за фиксированный промежуток времени; 2) модели индивидуальных исков (описание структуры, вычисление м.о. и дисперсии; 3) модель индивидуального риска. Примеры из области финансов: 1) модель с дискретным (конечным) ПЭИ и единичным интервалом времени; понятие риск-нейтральной вероятностной меры; 2) понятие опциона-колл и его справедливой цены.

1. 
   В партии, состоящей из изделий, имеется бракованных. Наудачу выбираются изделий из этой партии .
   
   1. 
      Чему равна вероятность того, что среди них окажется бракованных?
      
   2. 
      Показать, что при , так что данное распределение (гипергеометрическое) сходится к биномиальному с вероятностью успеха .
      
2. 
   В урну, где находится один белый шар, добавили еще один «вслепую» выбранный шар – либо белый, либо черный (с одинаковыми вероятностями выбора). После этого случайным образом вытащили из урны один шар. Он оказался белым. Какова условная вероятность того, что оставшийся в урне шар тоже белый?
   
3. 
   Пусть случайная точка A имеет равномерное распределение в квадрате со стороной 1. Найти вероятности следующих событий:
   

7. 
   Рассмотрим поток «вызовов», поступающих в некоторую систему (например, процесс поступления исков в страховую компанию). Пусть - случайная величина времени, прошедшего между поступлениями ()-го и -го вызовов. Предположим, что с.в. независимы и имеют экспоненциальное распределение с параметром . Покажите, что число вызовов, поступивших за единицу времени, имеет распределение Пуассона с тем же параметром.
   
8. 
   Пусть длительность работы некоторого прибора описывается неотрицательной случайной величиной , функция распределения которой имеет плотность Найдите условное математическое ожидание , т.е. среднее время, которое прибор еще проработает в предположении, что он уже проработал время . Найти также условное распределение .
   
9. 
   Пусть случайные величины (с.в.) и независимы, причем Найти:
   

1. 
   компания понесет убытки;
   
2. 
   Получит прибыль, не меньшую 400 000, 600 000, 800 000 руб.?
   

17. 
    Для определения доли р избирателей, поддерживающих на выборах кандидата Х, производится случайная выборка. Найти объем выборки, при котором с вероятностью 0.95 погрешность оценки доли р (по выборке) будет не больше 0.002.
    
18. 
    В таблице приведено совместное распределение доходностей двух финансовых активов:
    

	-0.1	0	0.1
-0.2	0.1	0	0.4
0.1	0.3	0.1	0.1

Для успешного усвоения курса необходимо не только посещать лекции и семинарские занятия, но и активно готовится к ним. В частности, целесообразно перед каждой лекцией просматривать основные определения и факты по теме, известные студентам из курса теории вероятностей.