Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г)




Скачать 425.97 Kb.
НазваниеСправочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г)
страница3/4
Дата конвертации26.11.2012
Размер425.97 Kb.
ТипСправочник
1   2   3   4

Элементы линейной алгебры



Знак суммирования имеет следующий смысл:

;

Действия с матрицами.



Матрица – это прямоугольная таблица чисел.

(m*n)-матрица – это таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

A = (aij) =

Элемент матрицы aij стоит на пересечении i-й строки и j-го столбца. Например, элемент a23 стоит на пересечении 2-й строки и 3-го столбца.

Главная диагональ квадратной (n*n)-матрицы: a11, a22, a33, …, aii, …, ann

Матрица называется диагональной, если у неё все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Единичная матрица E – это диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы.

Т.е. E=


(1*n)-матрица – это вектор-строка a = (a1, a2, a3, …, aj,…, an)

(m*1)-матрица – это вектор-столбец b = (bi) =

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и все их соответствующие элементы равны. Т.е. A = B если для всех i,j aij = bij.

Сложение матриц. C = A+B если матрицы A и B имеют одинаковую размерность (т.е. одинаковое число строк и столбцов) и для всех i,j сij = aij+ bij. Т.е. каждый элемент матрицы C – это сумма соответствующих элементов матриц A и B.

Примеры.


1) 2)


3) (1, 2, 3, 4, 5) + (4, –2, 0, –1, 3) = (1+4, 2–2, 3+0, 4–1, 5+3) = (5, 0, 3, 3, 8)


4) ? сложить нельзя, т.к. у этих матриц разные размерности.


5) ? сложить нельзя, т.к. у этих матриц разные размерности.


Умножение матрицы на число. Результатом умножения матрицы на число называется матрица, каждый элемент которой умножен на это число. Т.е. C = A , если для всех i,j cij=aij .

Пример.


Умножение матриц. Произведением матриц называется матрица, каждый элемент которой является скалярным произведением соответствующей строки первой матрицы на соответствующий столбец второй матрицы. Т.е. C = A*B если для всех i,j .

Элемент cij равен произведению i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B.

Часто вместо A*B пишут AB.


Примеры.

1)

(1, 2, 3) * = 1*4 + 2*(–5) + 3*0 = –6

2) ?


, т.к.


с11 = 1*0 + 2*1 = 2 с12 = 1*(–2) + 2*3 = 4 с13 = 1*4 + 2*2 = 8

с21 = 3*0 + 4*1 = 4 с22 = 3*(–2) + 4*3 = 6 с23 = 3*4 + 4*2 = 20

с31 = 5*0 + 6*1 = 6 с32 = 5*(–2) + 6*3 = 8 с33 = 5*4 + 6*2 = 32


3) ?


, т.к.


c11 = 0*1 + (–2)*3 + 4*5 = 14 c12 = 0*2 + (–2)*4 + 4*6 = 16

c21 = 1*1 + 3*3 + 2*5 = 20 c11 = 1*2 + 3*4 + 2*6 = 26


Сравнивая 2-й и 3-й примеры, видим, что произведение матриц некоммутативно,

т.е. (как правило) A*B  B*A .

4) ?


? умножить нельзя.

Две матрицы можно перемножить, если длина строки первой равна длине столбца второй.


5) ?





Произведение двух матриц имеет размерность (m*n), где m – число строк в первой (левой) матрице, n – число столбцов во второй (правой) матрице13.

В частности, при умножении любой матрицы на вектор-столбец, если произведение имеет смысл, получится вектор-столбец.


Свойства действий над матрицами.

1) A+B = B+A (коммутативность сложения матриц)

2) (A+B)+C = A+(B+C) (ассоциативность сложения матриц)

3) ()*A = (*A)

4) (+)*A = *A + *A

5) *(A+B) = *A + *B (дистрибутивность при умножении на число)

6) как правило, A*BB*A (некоммутативность умножения матриц)

7) для любой матрицы A, если произведение имеет смысл, A*E = A, E*A = A

8) (A*B)*C = A*(B*C) (ассоциативность умножения матриц)

9) A*(B+C) = A*B + A*C (дистрибутивность умножения матриц)

Транспонированная матрица AT = (aij)T получается из матрицы A , если первую строку записать как первый столбец, вторую строку записать как второй столбец, третью строку записать как третий столбец, и т.д.

A = (aij) = =>

=> AT = (aji) =


Транспонированная матрица симметрична исходной относительно главной диагонали.


Примеры. 1) A = => AT = (aji) =


2) A = => AT =

3) Если a = (a1, a2, …, aj,…, an), то aT = . Если b =(bi)= , то bT = (b1, b2, …, bi, …, bm)

Если x = и r = , то xT * r = x1*r1 + x2*r2 + … + xi*ri + … + xn*rn


1   2   3   4

Похожие:

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconВысшая математика и кибернетика

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconЭкономика москва 1999 удк 330. 105
В261 Социально эффективная экономика / Под общей ред д-ра экон наук Ведута Е. Н. — М.: Издательство рэа, 1999. — 254 с

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconБюллетень экспериментальной биологии и медицины
Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconУчебно-методический комплекс Специальность: 080801 Прикладная информатика (в экономике) Москва 2009 Автор-составитель: канд физ мат наук Л. И. Коровина Учебно-методический комплекс «Математическая экономика»
Учебно-методический комплекс «Математическая экономика» составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного...

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconПрограмма преддипломной практики для специальности
Экономическая кибернетика (математические методы и компьютерное моделирование в экономике)

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconПрограмма производственной (информационной) практики для специальности
Экономическая кибернетика (математические методы и компьютерное моделирование в экономике)

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) icon01. 01. 09 – математическая кибернетика и дискретная математика; 01. 02. 05. – механика жидкости, газа и плазмы
Гоу впо «Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет им. Н. Г. Чернышевского»

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconЭкономика гражданского общества
«Прикладная экономика», специализации: государственные и муниципальные финансы, институциональная экономика, социоэкономический анализ...

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconТезисы лекций по дисциплине «Спецсеминар по пространственной экономике»
Пространственная экономика это региональная и городская, транспортная и сетевая экономика, экономика природопользования

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconИ кибернетика Никита Николаевич Моисеев люди и кибернетика серия "Эврика" Рецензенты академик л а мелентьев, член-корреспондент С. В емельянов в книге


Разместите кнопку на своём сайте:
lib.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©lib.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
lib.convdocs.org
Главная страница