Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г)




Скачать 425.97 Kb.
НазваниеСправочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г)
страница4/4
Дата конвертации26.11.2012
Размер425.97 Kb.
ТипСправочник
1   2   3   4

Обратная матрица. Матрица B называется обратной к квадратной матрице A и обозначается A–1 , если B * A = A * B = E . Т.е. A–1 * A = A * A–1 = E .


Не всякая матрица имеет обратную.

Матрица, обратная к A, существует, если определитель матрицы A не равен нулю.

В экономико-математической литературе показано, что свойства реально возможных матриц прямых затрат A таковы, что матрица (EA) имеет обратную; т.е. матрица полных затрат B = (EA)–1 всегда существует.


Пример вычисления обратной матрицы методом неопределённых коэффициентов.


Найдём матрицу, обратную к A = . Пусть A–1 = .

Наша задача – найти коэффициенты x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 , z1 , z2 , z3 .


По определению обратной матрицы, должно выполняться равенство:


A * A–1 = E

* =


Т.е. (см. правило умножения матриц в Приложении 2, «Действия с матрицами»):


(a) , (b) , (c) .


Из системы (a) находятся коэффициенты x1 , x2 , x3 ; из системы (b) – коэффициенты y1 , y2 , y3 ; из системы (c) – коэффициенты z1 , z2 , z3 .


Решим эти линейные системы методом Гаусса.

Сначала надо привести исходную систему (a) к диагональному виду, т.е. к виду:





где cij , bi – некоторые числа. Потом из нижнего (3-го) уравнения найти x3 : x3 = .

Найденное значение x3 подставить в уравнение (2’), после чего найти x2 :

x2 = (b2c23 x3) .

Затем значения x2 и x3 подставить в уравнение (1’) и найти x1 :

x1 = (b1c12 x2 c13 x3) .


Итак, решаем систему (a).


1) Приведём систему (a) к диагональному виду.


Для этого сначала переставим 3-е уравнение на 1-е место:





Теперь умножим уравнение (1) на подходящее число (–2) и добавим к уравнению (2), так чтобы в уравнении (2) на месте коэффициента 2 (коэффициента при x1) получить 0. Получим:




Умножим уравнение (1) на подходящее число (–3) и добавим к уравнению (3), так чтобы в уравнении (3) на месте коэффициента 3 (коэффициента при x1) получить 0. Получим:




Умножим уравнение (2’) на (–1), получим:




Умножим уравнение (2”) на подходящее число (2) и добавим к уравнению (3'), так чтобы в уравнении (3') на месте коэффициента –6 (коэффициента при x2) получить 0. Получим:



Итак, мы привели исходную систему (a) к диагональному виду.


2) Решаем полученную систему «снизу вверх» :

x3 = –2 ; x2 = *(–1 – 3 x3) = *(–1 – 3*(–2) ) = ; x1 = – 5 x2 – 3 x3 = – 5 * – 3*(–2) = – .

Итак, решение системы (a): x1 = – ; x2 = ; x3 = –2 .


Аналогично, решая системы (b) и (c) получим:

y1 = 2 ; y2 = –1 ; y3 = 1 ; z1 = – ; z2 = – ; z3 = 1 .


Следовательно, A–1 = = = *


Проверка: A * A–1 = E

* =

Следовательно, матрица действительно является обратной к матрице A .


Решение линейной системы уравнений


, i=1,2,…,n


1) Покажем, что линейная система , i=1,2,…,n , или, подробнее, система

(1)


может быть записана в виде: x = Ax + y ,


где: x = , y = , A = .


В самом деле, произведение Ax – это вектор-столбец14 :

A * x

Ax = * =


Тогда Ax + y


Ax + y = + = .


Векторное равенство x = b (по определению равенства матриц) равносильно системе уравнений:




У нас b = Ax + y . Следовательно, векторное равенство x = Ax + y равносильно системе уравнений (1) :



Что и требовалось показать.


2) Уравнение x = Ax + y решается так15 :

xAx = y

ExAx = y

(EA)x = y (*)


В экономико-математической литературе показано, что свойства реально возможных матриц прямых затрат A таковы, что матрица (EA) имеет обратную; т.е. матрица полных затрат B = (EA)–1 всегда существует.

Умножим уравнение (*) слева на матрицу B = (EA)–1 , получим:

(EA)–1 * (EA) *x = (EA)–1 * y , т.е.

\____________/

= E


То есть получаем: Ex = (EA)–1 * y , и, окончательно, x = (EA)–1 * y .

Или: x = By , где B = (EA)–1 .


Далее. x = B * y

= *

откуда, (см. умножение матриц) получаем:

Итак, если матрица B = (E A)–1 существует, то решением системы уравнений , i=1,2,…,n , является вектор x = (E A)–1 * y , или, что то же, величины i=1,2,…,n , где bij - элемент матрицы B = (E A)–1



* Вновь созданная стоимость (или чистая продукция) – это стоимость, вновь созданная трудом людей в процессе производства; она распадается на фонд зарплаты и прибыль. С точки зрения бухучёта, чистая продукция равна валовой продукции за вычетом материальных затрат (прямых материальных затрат и амортизации).

1 К «прямым материальным затратам» относятся затраты энергии, сырья, материалов, полуфабрикатов, комплектующих изделий и т.п.

2 Амортизация – это часть стоимости используемых в данной отрасли оборудования, производственных зданий, сооружений и т.п. Подробнее см. ниже статью «Амортизация».

3 «экзогенно», т.е. «извне модели»,; см. следующую сноску.

4 т.е. «извне» модели. Экзогенные переменные – это параметры модели. Задав значение всех параметров, остальные («эндогенные») переменные модели можно найти, решив систему уравнений данной модели.

5 См. ниже статью «Лаги запаздывания».

6 То есть: еда, одежда, мебель, бытовая техника, и т.д.; материальные услуги населению (например, транспортные); жильё; а также материально-техническая база науки, культуры, образования, здравоохранения, армии и т.д.


** В предположении, что материальные (в т.ч. энергетические) и трудовые ресурсы имеются в достаточном количестве.

7 См. выше статьи «Промежуточный продукт» и «Межотраслевой баланс».

8 См. выше статьи «Конечный продукт» и «Межотраслевой баланс».

9 оборудования, заводских корпусов, производственных сооружений, передаточных устройств, транспортных средств, и др.

10 «Фонд материального поощрения» использовался для премирования работников предприятия (премии из ФМП). «Фонд социального развития» шёл на строительство и содержание жилья, домов культуры, профилакториев, детских садов, пионерлагерей и т.д.

11 Т.е. объём и структуру непроизводственного (личного и общественного) потребления. См. описание динамической модели МОБ.

12 Здесь используются производственно-транспортная задача линейного программирования и другие модели. См., например, книгу «Оптимальный план отрасли» (под ред. И.Я.Бирмана), М., «Экономика», 1970г.

13 В 5-м примере длина строки первой матрицы равна длине столбца второй матрицы (=2), поэтому эти матрицы можно перемножить. У первой матрицы 3 строки, у второй матрицы 4 столбца, поэтому их произведение – (3*4)-матрица.

14 См. «Умножение матриц» в разделе «Действия с матрицами».

15 См. свойства действий с матрицами в разделе «Действия с матрицами».
1   2   3   4

Похожие:

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconВысшая математика и кибернетика

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconЭкономика москва 1999 удк 330. 105
В261 Социально эффективная экономика / Под общей ред д-ра экон наук Ведута Е. Н. — М.: Издательство рэа, 1999. — 254 с

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconБюллетень экспериментальной биологии и медицины
Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconУчебно-методический комплекс Специальность: 080801 Прикладная информатика (в экономике) Москва 2009 Автор-составитель: канд физ мат наук Л. И. Коровина Учебно-методический комплекс «Математическая экономика»
Учебно-методический комплекс «Математическая экономика» составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного...

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconПрограмма преддипломной практики для специальности
Экономическая кибернетика (математические методы и компьютерное моделирование в экономике)

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconПрограмма производственной (информационной) практики для специальности
Экономическая кибернетика (математические методы и компьютерное моделирование в экономике)

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) icon01. 01. 09 – математическая кибернетика и дискретная математика; 01. 02. 05. – механика жидкости, газа и плазмы
Гоу впо «Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет им. Н. Г. Чернышевского»

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconЭкономика гражданского общества
«Прикладная экономика», специализации: государственные и муниципальные финансы, институциональная экономика, социоэкономический анализ...

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconТезисы лекций по дисциплине «Спецсеминар по пространственной экономике»
Пространственная экономика это региональная и городская, транспортная и сетевая экономика, экономика природопользования

Справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г) iconИ кибернетика Никита Николаевич Моисеев люди и кибернетика серия "Эврика" Рецензенты академик л а мелентьев, член-корреспондент С. В емельянов в книге


Разместите кнопку на своём сайте:
lib.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©lib.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
lib.convdocs.org
Главная страница